การออกแบบและพัฒนาระบบควบคุมสำหรับอุปกรณ์ทรงตัวอัตโนมัติที่ใช้ตัวกระตุ้นชนิดแลกเปลี่ยนโมเมนตัม

บทคัดย่อ

ปริญญานิพนธ์ฉบับนี้นำเสนอการออกแบบและพัฒนาเครื่องต้นแบบรถจักรยานสองล้อ ที่ สามารถทรงตัวได้ด้วยตนเองในขณะหยุดนิ่ง โดยอาศัยหลักการแลกเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุมของชุด กลไกไจโรสโคปแบบควบคุมโมเมนต์ร่วมกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการควบคุมเชิงเส้น การดำเนินงาน เริ่ ม ต้ น จากการสร้า งแบบจำลองทางคณิ ต ศาสตร์ พ ลศาสตร์ แ ละตรวจสอบความถู ก ต้ อ งของ พารามิเตอร์ทางกายภาพด้วยวิธีการทดลองแบบลูกตุ้มแขวนสามเส้น จากนั้นจึงดำเนินการสร้าง เครื่องต้นแบบพร้อมออกแบบตัวควบคุมให้เหมาะสมกับการใช้งานจริง ผลการทดสอบประสิทธิภาพ จากเครื่องต้นแบบจริงพบว่าตัวควบคุมสามารถสั่งการกลไกเพื่อสร้างแรงบิดกู้คืนและดึงตัวรถจากมุม เอียงวิกฤตที่ลบ 15 องศากลับสู่สภาวะสมดุลในแนวดิ่งได้สำเร็จภายในเวลาประมาณ 2 วินาที โดย ระบบสามารถรักษาเสถียรภาพและควบคุมความคลาดเคลื่อนของมุมเอียงให้อยู่ในระยะไม่เกินบวก ลบ 2 องศาซึ่งผ่านเกณฑ์ข้อกำหนดของโครงงาน นอกจากนี้ผลการทดสอบจริงยังมีพฤติกรรมการลู่ เข้าสู่จุดสมดุลที่สอดคล้องกับผลการจำลองสถานการณ์ ซึ่งเป็นการยืนยันความแม่นยำของแบบจำลอง และแสดงให้เห็นถึงความทนทานของตัวควบคุมต่อปัจจัยรบกวนภายนอกได้อย่างดีเยี่ยม องค์ความรู้ จากโครงงานนี้สามารถนำไปพัฒนาต่อยอดเป็นระบบช่วยทรงตัวสำหรับยานพาหนะส่วนบุคคล คำสำคั ญ : ระบบทรงตั ว อั ต โนมั ติ / ไจโรสโคปแบบควบคุ ม โมเมนต์ / การควบคุ ม เชิ ง เส้ น / ตัวกระตุ้นชนิดแลกเปลี่ยนโมเมนตัม Name Thesis Title Department Advisor Academic year Mr. Pruethiphong Nithikultanon Mr. Woranat Kwankaew Mr. Sukitchai Homkrajai Design and Development of a Controller for a Self-Balancing System Using a Momentum Exchange-Based Actuator Mechanical and Aerospace Engineering Prof. Suwat Kuntanapreeda, Ph.D. 2025 Abstract This thesis presents the design and development of a self-balancing twowheeled bicycle prototype capable of maintaining equilibrium at a standstill. The system utilizes the angular momentum exchange principle of a Control Moment Gyroscope (CMG) combined with linear control theory. The implementation began with establishing a dynamic mathematical model and validating the physical parameters using the trifilar pendulum method. Subsequently, the hardware prototype was constructed, and the controller was optimized for practical application. Performance testing revealed that the controller successfully commanded the mechanism to generate a restoring torque, recovering the vehicle from a critical roll angle of -15 degrees to vertical equilibrium within 2 seconds. The system maintained stability with a steady-state roll angle error within ±2 degrees, satisfying the project requirements. Furthermore, experimental results exhibited convergence behavior consistent with the simulations, verifying the mathematical model's accuracy and demonstrating the controller's robustness against external disturbances. The knowledge derived from this project can be applied to develop self-balancing assist systems for small personal vehicles or two-wheeled mobile robots. Keywords : Self-balancing system / Control moment gyroscope / Linear control / Momentum exchange actuator กิตติกรรมประกาศ ปริญญานิพนธ์ฉบับนี้สำเร็จลุล่วงด้วยความกรุณาและการสนับสนุนจากหลายภาคส่วน ซึ่ง ผู้วิจัยขอกราบขอบพระคุณทุกท่านที่มีส่วนช่วยเหลือด้วยความจริงใจ โดยเฉพาะอย่างยิ่งขอกราบ ขอบพระคุณ ศาสตราจารย์ ดร.สุวัฒน์ กุลธนปรีดา อาจารย์ที่ปรึกษาปริญญานิพนธ์ ที่ได้กรุณาให้ คำแนะนำ ถ่ายทอดองค์ความรู้ และแบ่งปันประสบการณ์อันทรงคุณค่า ซึ่งมีส่วนสำคัญยิ่งในการวาง แนวทาง แก้ไขปัญหา และส่งเสริมให้ปริญญานิพนธ์ฉบับนี้สำเร็จตามวัตถุประสงค์และขอบเขตที่ กำหนดไว้ ขอขอบคุณ นายเจษฎากร ชัยนราพิพัฒน์ นักศึกษาระดับปริญญาโท ที่ได้ให้ความช่วยเหลือ อย่างดียิ่งทั้งด้านคำแนะนำ แนวทางการศึกษา และการค้นคว้า ซึ่งเอื้อต่อการดำเนินงานวิจัยเป็น อย่างมาก ขอขอบคุณ นายจิรกานต์ สุขเจริญ นายภาณุพงศ์ ตระกูลธงชัย และนายอาทิตย์ นารา เศรษฐกุล ผู้จัดทำโครงงานรุ่นก่อนหน้า ซึ่งผลงานของท่านได้เป็นกรณีศึกษาและแหล่งข้อมูลอ้างอิง เบื้องต้นให้ผู้วิจัยได้เรียนรู้แนวทางและข้อจำกัด นำมาสู่การออกแบบและพัฒนาโครงสร้างตลอดจน ระบบควบคุมขึ้นใหม่ทั้งหมดด้วยตนเองจนสำเร็จลุล่วง พร้อมกันนี้ ขอขอบคุณคณาจารย์ รุ่นพี่ รุ่น น้อง และเพื่อน ๆ สมาชิกทีม Invigorating Robot Activity Project (iRAP Robot) ทุกท่าน ที่ให้ ความอนุเคราะห์ด้านสถานที่ เครื่องมือ และอุปกรณ์ต่าง ๆ ที่ใช้ในการดำเนินงาน รวมถึงคอยให้ความ ช่วยเหลือและคำปรึกษาอย่างเป็นกัลยาณมิตรมาโดยตลอด สุดท้ายนี้ ผู้วิจัยขอกราบขอบพระคุณบิดา และมารดา ผู้เป็นกำลังใจสำคัญตลอดระยะเวลาการศึกษา รวมถึงผู้มีอุปการะคุณทุกท่านที่ให้การ สนับสนุนและส่งเสริมการศึกษาอย่างต่อเนื่อง จนทำให้ผู้วิจัยสามารถสำเร็จการศึกษาได้ตามเป้าหมาย ที่ตั้งใจไว้ นายพฤฒิพงษ์ นิธิกุลตานนท์ นายวรณัฏฐ์ ขวัญแก้ว นายสุกฤษฎิ์ไชย หอมกระจาย สารบัญ สารบัญ.................. ............................................................................................................................ ก สารบัญตาราง .................................................................................................................................... ซ สารบัญรูปภาพ ..................................................................................................................................ฌ บทที่ 1 บทนำ ...............................................................................................................................1 1.1 ที่มาและความสำคัญของโครงงาน ...................................................................................1 1.2 วัตถุประสงค์ของโครงงาน ................................................................................................2 1.3 ขอบเขตของโครงงาน ......................................................................................................2 1.4 ประโยชน์และผลที่คาดว่าจะได้รับ ...................................................................................3 1.4.1 ด้านการศึกษาและพัฒนาทักษะนักศึกษา .......................................................... 3 1.4.2 ด้านองค์ความรู้และวิจัย .................................................................................... 3 1.4.3 ด้านการประยุกต์ใช้งานและสังคม ..................................................................... 3 1.5 แผนการดำเนินงานและงบประมาณ ................................................................................4 1.5.1 แผนการดำเนินงาน............................................................................................ 4 1.5.2 งบประมาณ ....................................................................................................... 5 1.6 กลุ่มผู้ใช้งาน ....................................................................................................................5 บทที่ 2 ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง .............................................................................................................6 2.1 ระบบทรงตัวอัตโนมัติ (Self-Balancing Systems) .........................................................6 2.2 การสร้างแบบจำลองของระบบ (System Modelling) ....................................................7 2.2.1 กฎของนิวตัน (Newton’s Law) ....................................................................... 7 2.2.2 สมการออยเลอร์–ลากรังจ์ (Euler-Lagrange Equation) .................................. 8 2.2.3 สมการสถานะ (State - Space Equation) ...................................................... 9 2.3 การวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ของระบบควบคุม (Mathematical Analysis of Control Systems) .........................................................9 ก 2.3.1 การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) ...................................................... 10 2.3.2 ฟังก์ชันถ่ายโอน (Transfer Function) ............................................................ 11 2.3.3 แบบจำลองคณิตศาสตร์ของระบบทางกล (Mathematical Modelling of Mechanical Systems).............................. 11 2.3.4 ระบบควบคุมแบบวงเปิด (Open-loop Control system) ............................. 14 2.3.5 ระบบควบคุมแบบวงปิด (Closed-loop Control System) ........................... 14 2.3.6 ความเสถียรของระบบ (Stability Analysis) ................................................... 16 2.4 สมบัติเชิงโครงสร้างของระบบ (System Properties) .................................................. 18 2.4.1 การควบคุมได้ (Controllability)..................................................................... 19 2.4.2 การสังเกตได้ (Observability) ........................................................................ 20 2.5 ตัวกระตุ้นแบบแลกเปลี่ยนโมเมนตัม (Momentum Exchange Actuator)................. 20 2.5.1 Reaction Wheel ........................................................................................... 21 2.5.2 Control moment gyroscope (CMG) ......................................................... 22 2.6 ตัวควบคุมเชิงเส้น (Linear Controllers) ..................................................................... 23 2.6.1 ตัวควบคุมแบบ PID (PID Control)................................................................. 23 2.6.2 ทางเดินของราก (Root-locus)........................................................................ 25 2.7 ตัวควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (Optimal Control)...................................................... 26 2.7.1 ตัวควบคุมแบบ LQR (Linear Quadratic Regulator) ................................... 26 บทที่ 3 ขั้นตอนการออกแบบ..................................................................................................... 28 3.1 ความต้องการของโครงงาน (Requirements) .............................................................. 28 3.2 ข้อจำกัด (Constraints)................................................................................................ 28 3.3 มาตรฐานที่เกี่ยวข้อง (Standards) ............................................................................... 29 3.4 การสร้างแนวคิดตัวกระตุ้น (Concept Generation: CMG vs Reaction Wheel) ..... 30 3.4.1 แบบจำลองแรงบิดเบื้องต้นที่ใช้เปรียบเทียบ .................................................... 30 3.4.2 เงื่อนไขร่วมสำหรับการเปรียบเทียบ (Fairness Constraints) ......................... 31 ข 3.4.3 เกณฑ์ประเมินและตัวชี้วัด ............................................................................... 31 3.4.4 ข้อคาดหมายเบื้องต้น (Engineering Insight) ................................................. 31 3.5 แบบจำลองเชิงคณิตศาสตร์ .......................................................................................... 32 3.5.1 กรอบสมมติฐาน & สถานะ/อินพุต/เอาต์พุต .................................................... 32 3.5.2 Reaction Wheel (RW).................................................................................. 33 3.5.2.1 นิยามพิกัดและพารามิเตอร์ ............................................................. 33 3.5.2.2 สร้างลากรังเจียน (Lagrangian) ...................................................... 34 3.5.2.3 สมการการเคลื่อนที่ (Nonlinear EoM; Euler–Lagrange) ............. 34 3.5.2.4 การลิเนียร์ไรซ์รอบจุดสมดุล (Small-angle Linearization) ........... 35 3.5.2.5 ผนวกระบบมอเตอร์ DC (+ เกียร์) ................................................... 35 3.5.2.6 จัดรูปสมการสถานะ (State–Space) .............................................. 36 3.5.3 Control Moment Gyroscope (CMG) ......................................................... 37 3.5.3.1 นิยามพิกัดและพารามิเตอร์ ............................................................. 37 3.5.3.2 สร้างลากรังเจียน (Lagrangian) ...................................................... 38 3.5.3.3 สมการการเคลื่อนที่ (Nonlinear EoM; Euler–Lagrange) ............. 38 3.5.3.4 การลิเนียร์ไรซ์รอบจุดสมดุล (Small-angle Linearization) ........... 39 3.5.3.5 จัดรูปสมการสถานะ (State–Space) .............................................. 40 3.6 โมเดลเรขาคณิตและ Multibody (CAD → Simscape) ............................................ 41 3.6.1 การเตรียมชิ้นส่วนใน CAD (SolidWorks) ....................................................... 41 3.6.2 การส่งออกจาก CAD และนำเข้า Simscape (Export → Import) ............... 43 3.6.3 การตรวจสอบมวล–โมเมนต์ความเฉื่อย............................................................ 46 3.6.4 การแม็พกรอบแกนกับตัวแปรสถานะและสัญญาณ (Mapping) ....................... 47 3.6.5 การเตรียมลิเนียร์ไรซ์และจุดปฏิบัติการ............................................................ 47 3.7 การตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลอง (Model Validation) ................................ 48 ค 3.7.1 Reaction Wheel ........................................................................................... 48 3.7.2 Control Moment Gyroscope ..................................................................... 49 3.8 การออกแบบตัวควบคุมแบบ LQR................................................................................ 50 3.8.1 โจทย์ควบคุมและข้อกำหนด (Specs) .............................................................. 50 3.8.2 วิธีเลือก Q,R (แนว Bryson’s Rule + ขั้นตอนปรับจูน) .................................. 50 3.8.3 การใช้งานใน Simulation (Linear, Simscape, Nonlinear) และการจัดการ Saturation ........................................................................... 50 3.8.4 ตารางบันทึกผลการออกแบบ .......................................................................... 51 3.9 ผลการจำลองและการวิเคราะห์ .................................................................................... 51 3.9.1 เงื่อนไขการทดสอบ (Test Scenarios) ............................................................ 52 3.9.2 ดัชนีสมรรถนะที่ใช้เปรียบเทียบ (Performance Indices)............................... 52 3.9.3 ผลการจำลองของ Reaction Wheel (RW) .................................................... 52 3.9.4 ผลการจำลองของ Control Moment Gyroscope (CMG) ............................ 54 3.10 การคัดเลือกแนวคิด (Concept Selection) ................................................................. 56 3.10.1 วัตถุประสงค์และเกณฑ์ประเมิน....................................................................... 56 3.10.2 การเปรียบเทียบเชิงตัวเลขจากผลการจำลอง ................................................... 56 3.10.3 สรุปเชิงวิศวกรรมจากหลักฐาน ........................................................................ 59 3.10.4 คะแนนแบบถ่วงน้ำหนัก (รวม) ........................................................................ 60 3.10.5 ข้อสรุปการคัดเลือก ......................................................................................... 60 3.11 การออกแบบและทดสอบการทำงานของระบบทรงตัวอัตโนมัติโดยใช้ตัวกระตุ้น ชนิดแลกเปลี่ยนโมเมนตัม ............................................................................................. 60 3.11.1 สถาปัตยกรรมผลิตภัณฑ์ (Product Architecture) ........................................ 61 3.11.2 การออกแบบรายละเอียดและการกำหนดพารามิเตอร์ (Configuration Design & Parametric Design) ........................................... 63 ง 3.11.2.1 การเลือกวัสดุ (Material Selection) ............................................ 63 3.11.2.2 การสร้างแบบจำลองและการกำหนดขนาดชิ้นส่วน (Modeling and Sizing of Parts) ................................................ 63 3.11.2.3 การรวมระบบและการเลือกใช้ชิ้นส่วนมาตรฐาน (System Integration & Standard Parts Selection) ............... 66 3.11.3 การพิจารณาด้านการออกแบบอุตสาหกรรมและธุรกิจ..................................... 67 3.11.3.1 ด้านการทำงาน (Functionality) และผลกระทบต่อสิ่งแวดล้อม ... 67 3.11.3.2 ด้านการผลิต (Manufacturing) .................................................... 68 3.11.3.3 ด้านต้นทุนและความเป็นไปได้ทางการตลาด (Cost & Marketability)............................................................... 69 บทที่ 4 ผลการดำเนินงานและวิเคราะห์ผล ................................................................................ 70 4.1 การวิเคราะห์ผลทางฟิสิกส์และการตรวจสอบความถูกต้อง (Physical Analysis & Model Validation) ................................................................ 70 4.1.1 การตรวจสอบความถูกต้องของสมการสถานะ (State-Space Model Validation) ............................................................... 70 4.1.2 ผลการควบคุมการทรงตัวในระบบจำลอง (Simulation Results of Balancing Control) ............................................. 78 4.2 การออกแบบพารามิเตอร์และการยืนยันผลการออกแบบ (Parametric Design and Design Verification) ........................................................ 80 4.2.1 การออกแบบตัวควบคุม (Controller Design) ................................................ 80 4.2.2 การวิเคราะห์ผลตอบสนองและสมรรถนะ (Response Analysis) ................... 81 4.2.3 การยืนยันขนาดของอุปกรณ์ขับเคลื่อน (Actuator Sizing Verification) ........ 81 4.3 การตรวจสอบและยืนยันพารามิเตอร์ทางกายภาพ (Physical Parameter Verification) .......................................................................... 82 4.3.1 หลักการของระบบ Trifilar Pendulum .......................................................... 82 จ 4.3.2 การประมวลผลข้อมูลสัญญาณการสั่น (Data Processing) ............................. 83 4.3.3 แบบจำลองคณิตศาสตร์สำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ ............................ 84 4.3.4 ผลการทดลองและการตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลอง ........................ 86 4.3.5 การหาตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงด้วยวิธี Optimization .......................................... 88 4.3.6 สรุปพารามิเตอร์จริงของระบบ ........................................................................ 89 4.3.7 การเปรียบเทียบค่าพารามิเตอร์และวิเคราะห์ความคลาดเคลื่อน...................... 90 4.4 การสร้างเครื่องต้นแบบและการติดตั้งระบบ (Prototype Implementation) ............. 91 4.4.1 ผลการผลิตและประกอบโครงสร้างทางกล (Mechanical Assembly) ............ 91 4.4.2 การติดตั้งระบบอิเล็กทรอนิกส์และวงจรควบคุม (Electrical Integration) ...... 91 4.4.3 ภาพรวมของเครื่องต้นแบบ (Final Prototype Overview) ............................ 92 4.5 การปรับปรุงตัวควบคุมสำหรับการใช้งานจริง (Practical Controller Modification) . 93 4.5.1 การจัดตารางอัตราขยาย (Gain Scheduling for Dual-Region Control) ..... 93 4.5.2 การชดเชยความเสียดทานและช่วงอับสัญญาณ (Friction Compensation) ... 94 4.5.3 ผลการจำลองการทำงานด้วยตัวควบคุมที่ปรับปรุงแล้ว (Updated Simulation Results) ................................................................... 95 4.6 ผลการทดลองการควบคุมการทรงตัวจริง (Real-world Experimental Results) ....... 97 4.6.1 การตอบสนองของมุมเอียงตัวถัง (Roll Angle and Roll Rate Response) ... 98 4.6.2 การทำงานของชุดขับเคลื่อนและแรงดันไฟฟ้า (Gimbal Actuator and Input Response)................................................... 98 4.7 การตรวจสอบและวิเคราะห์ความสอดคล้อง (Verification & Validation Analysis) .. 98 4.7.1 การเปรียบเทียบพฤติกรรมการตอบสนองเชิงเวลา (Time Response Comparison) ................................................................. 100 บทที่ 5 สรุปผลการดำเนินงานและข้อเสนอแนะ (Conclusion and Recommendations) . 102 5.1 สรุปผลการดำเนินงาน ................................................................................................ 102 5.1.1 สรุปผลตามวัตถุประสงค์ของโครงงาน (Objectives) ..................................... 102 ฉ 5.1.2 สรุปผลตามความต้องการของโครงงาน (Requirements) ............................. 103 5.1.3 สรุปผลตามข้อจำกัดของการออกแบบ (Constraints) ................................... 103 5.2 ปัญหาและอุปสรรคในการดำเนินงาน ......................................................................... 104 5.3 ข้อเสนอแนะและแนวทางในการพัฒนาต่อยอด........................................................... 105 เอกสารอ้างอิง ............................................................................................................................... 106 ภาคผนวก ก โปรแกรมสำหรับการสร้างแนวคิดตัวกระตุ้นของ Reaction Wheel ........................ 108 ภาคผนวก ข โปรแกรมสำหรับการสร้างแนวคิดตัวกระตุ้นของ Control Moment Gyroscope .. 112 ภาคผนวก ค โปรแกรมสำหรับการควบคุมระบบทรงตัวอัตโนมัติ................................................... 118 ภาคผนวก ง แบบแปลนชิ้นส่วนทางกลของเครื่องต้นแบบ (Mechanical Drawings) ................... 121 ช สารบัญตาราง ตารางที่ 1.1 แผนการดำเนินงาน ....................................................................................................... 4 ตารางที่ 1.2 รายละเอียดการจัดสรรงบประมาณ............................................................................... 5 ตารางที่ 2.1 ตารางองค์ประกอบระบบมวล สปริง แดมเปอร์ที่มีแรงกระทำภายนอก ...................... 12 ตารางที่ 2.2 ตารางองค์ประกอบระบบแรงหมุนที่มีแรงบิดกระทำต่อเพลา ..................................... 13 ตารางที่ 3.1 พารามิเตอร์ของระบบใช้เงื่อนไขร่วม ........................................................................... 31 ตารางที่ 3.2 พารามิเตอร์เชิงกลที่ใช้ ................................................................................................ 33 ตารางที่ 3.3 พารามิเตอร์เชิงกลที่ใช้ ................................................................................................ 37 ตารางที่ 3.4 การตรวจสอบมวล–โมเมนต์ความเฉื่อย...................................................................... 46 ตารางที่ 3.5 การตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลองของ Reaction Wheel ............................ 48 ตารางที่ 3.6 การตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลองของ Control Moment Gyroscope ...... 49 ตารางที่ 3.7 ค่า Gain LQR ที่ได้ ..................................................................................................... 51 ตารางที่ 3.8 คะแนนแบบถ่วงน้ำหนัก.............................................................................................. 60 ตารางที่ 3.9 สรุปรายการอุปกรณ์มาตรฐานที่เลือกใช้ในโครงงาน .................................................... 67 ตารางที่ 3.10 สรุปต้นทุนการผลิตรถจักรยานทรงตัวต้นแบบ .......................................................... 69 ตารางที่ 4.1 พารามิเตอร์เชิงกลสำหรับการวิเคราะห์....................................................................... 71 ตารางที่ 4.2 ตารางเปรียบเทียบค่า ................................................................................................. 77 ตารางที่ 4.3 ข้อมูลการทดลองจากระบบ Trifilar Pendulum........................................................ 86 ซ สารบัญรูปภาพ รูปที่ 2.1 Free-body diagram ของจักรยานที่มีระบบ Self-balancing โดยใช้ CMG [2]................ 7 รูปที่ 2.2 ตัวอย่างของการประยุกต์ใช้การแปลงลาปลาซเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์[5] ..................... 10 รูปที่ 2.3 ระบบมวล สปริง แดมเปอร์ที่มีแรงกระทำภายนอก[5]...................................................... 12 รูปที่ 2.4 ระบบแรงหมุนที่มีแรงบิดกระทำต่อเพลา[5] ..................................................................... 13 รูปที่ 2.5 ตัวอย่างแผนภาพบล็อกของ ระบบควบคุมวงเปิด (Open-loop Control System) [4] ... 14 รูปที่ 2.6 ตัวอย่างแผนภาพบล็อกของ ระบบควบคุมวงปิด (Closed-loop Control System) [4].. 15 รูปที่ 2.7 ตำแหน่งของโพลในระนาบเชิงซ้อน s .............................................................................. 16 รูปที่ 2.8 แผนภาพตัวอย่างตำแหน่ง Eigenvalues ของเมทริกซ์สถานะ A ในระนาบเชิงซ้อน........ 18 รูปที่ 2.9 Reaction Wheel .......................................................................................................... 21 รูปที่ 2.10 Control moment gyroscope (CMG)....................................................................... 22 รูปที่ 2.11 แผนผังการทำงานของระบบควบคุมประเภทพีไอดี [13] .................................................. 24 รูปที่ 2.12 ทางเดินรากบน S-Plane .............................................................................................. 25 รูปที่ 2.13 แผนภาพบล็อคการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด ............................................................. 26 รูปที่ 3.1 กรอบพิกัดและตัวแปรสำหรับกรณี Reaction Wheel (RW) .......................................... 33 รูปที่ 3.2 กรอบพารามิเตอร์ของ CMG สำหรับแบบจำลอง ............................................................ 37 รูปที่ 3.3 Control Moment Gyroscope Assembly.................................................................. 42 รูปที่ 3.4 Reaction Wheel Assembly ........................................................................................ 42 รูปที่ 3.5 โครงสร้าง Multibody ของ Reaction Wheel (Simscape) ......................................... 44 รูปที่ 3.6 โครงสร้าง Multibody ของ Control Moment Gyroscope (Simscape) ................... 45 รูปที่ 3.7 การใส่ Block เพื่อแปลงแรงดันกลายเป็นแรงบิด ............................................................ 47 รูปที่ 3.8 ผลการจำลองภายใต้ LQR เปรียบเทียบ 3 โมเดล (Linear, Simscape, Nonlinear) ของ Reaction Wheel ............................................. 52 รูปที่ 3.9 ผลการจำลองภายใต้ LQR เปรียบเทียบ 3 โมเดล (Linear, Simscape, Nonlinear) ของ Control Moment Gyroscope ....................... 54 รูปที่ 3.10 แรงบิดสเตบิไลซ์ (ผลดิบ) .............................................................................................. 56 รูปที่ 3.11 แรงบิดสเตบิไลซ์ (กลับทิศให้เครื่องหมายเดียวกัน) ........................................................ 57 รูปที่ 3.12 Volt Input (ผลดิบ)...................................................................................................... 57 ฌ รูปที่ 3.13 Volt Input (กลับทิศให้เครื่องหมายเดียวกัน) ............................................................... 58 รูปที่ 3.14 แรงบิดสเตบิไลซ์ เมื่อมุมเริ่มต้นเล็ก (ผลดิบ).................................................................. 58 รูปที่ 3.15 แรงบิดสเตบิไลซ์ เมื่อมุมเริ่มต้นเล็ก (กลับทิศให้เครื่องหมายเดียวกัน) ........................... 59 รูปที่ 3.16 ภาพแยกชิ้นส่วน (Exploded View) ของรถจักรยานทรงตัวและโมดูลหลักทั้ง 4 ส่วน .. 61 รูปที่ 3.17 แผนผังการทำงานของระบบ (Block Diagram) ใน Simscape .................................... 62 รูปที่ 3.18 แสดงแบบจำลอง 3 มิติ และมิติโดยรวมของรถจักรยาน ............................................... 64 รูปที่ 3.19 แบบจำลอง 3 มิติของ Flywheel ................................................................................. 65 รูปที่ 4.1 พารามิเตอร์เชิงกล .......................................................................................................... 72 รูปที่ 4.2 หน้าต่างโปรแกรม Model Linearizer (Linearize)........................................................ 76 รูปที่ 4.3 กราฟผลการตอบสนองของระบบ ................................................................................... 79 รูปที่ 4.4 ชุดทดสอบ Trifilar Pendulum และการกำหนดตำแหน่งจุดอ้างอิง (Ref Point) ........... 82 รูปที่ 4.5 สัญญาณการสั่นจากการทดลองและจุดยอดที่ตรวจพบ (Peak Detection) .................... 83 รูปที่ 4.6 พื้นผิวการตอบสนองของค่าโมเมนต์ความเฉื่อยเทียบกับตำแหน่งพิกัด ............................ 87 รูปที่ 4.7 กราฟคอนทัวร์ และเส้นทางการค้นหาค่าต่ำสุดด้วยวิธี Gradient Descent.................... 88 รูปที่ 4.8 ตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงจริงของโครงสร้างรถจักรยานต้นแบบ .............................................. 89 รูปที่ 4.9 ลักษณะเครื่องต้นแบบที่ประกอบสมบูรณ์ (มุมมองด้านซ้าย) ........................................... 92 รูปที่ 4.10 ลักษณะเครื่องต้นแบบที่ประกอบสมบูรณ์ (มุมมองด้านขวา) ......................................... 92 รูปที่ 4.11 บล็อกไดอะแกรมแสดงการปรับปรุงตัวควบคุมสำหรับการใช้งานจริง ............................ 93 รูปที่ 4.12 ซอร์สโค้ด (Source Code) กำหนดการสลับค่าอัตราขยาย ......................................... 93 รูปที่ 4.13 บล็อกไดอะแกรมแสดงการชดเชยแรงดันไฟฟ้า ก่อนเข้าสู่การจำกัดสัญญาณ ................ 94 รูปที่ 4.14 กราฟแสดงผลการตอบสนองของระบบจากการจำลองด้วยตัวควบคุมที่ปรับปรุงแล้ว .... 95 รูปที่ 4.15 กราฟแสดงผลตอบสนองการทรงตัวของเครื่องต้นแบบจริง (Hardware) ...................... 97 รูปที่ 4.16 กราฟเปรียบเทียบการตอบสนองระหว่างเครื่องต้นแบบจริงและแบบจำลอง ................. 99 ญ บทที่ 1 บทนำ 1.1 ที่มาและความสำคัญของโครงงาน ในปัจจุบัน ระบบควบคุมการทรงตัวอัตโนมัติมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการพัฒนาเทคโนโลยีที่ เกี่ยวข้องกับหุ่นยนต์เคลื่อนที่ ยานพาหนะขนาดเล็ก และอุปกรณ์ช่วยทรงตัวต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็น อุปกรณ์ขนส่งส่วนบุคคล ระบบแพลตฟอร์มอัตโนมัติ หรือเครื่องมือในห้องปฏิบัติการที่ต้องการ เสถียรภาพสูง อย่างไรก็ตาม ความท้าทายหลักของระบบทรงตัวอัตโนมัติคือความสามารถในการ ตอบสนองอย่างรวดเร็วและแม่นยำต่อแรงรบกวน (Disturbance) ซึ่งระบบควบคุมทั่วไป เช่น ทฤษฎี การควบคุมแบบ PID แม้จะใช้งานง่ายแต่ในบางกรณีอาจไม่สามารถตอบสนองต่อพลศาสตร์ที่มีความ ซับซ้อนได้อย่างมีประสิทธิภาพเพียงพอ ที่ผ่านมา มีงานวิจัยจำนวนมากที่เสนอแนวทางแก้ไขปัญหาดังกล่าว เช่น การใช้ระบบเซนเซอร์ ร่วมกับอัลกอริทึมการควบคุมขั้นสูง ได้แก่ คาลมานฟิลเตอร์ (Kalman Filter), ตรรกะคลุมเครือ (Fuzzy Logic) หรือการควบคุมแบบทำนายพฤติกรรม (Model Predictive Control: MPC) อย่างไร ก็ตาม แนวทางเหล่านี้มักต้องอาศัยทรัพยากรในการประมวลผลสูง ซึ่งอาจไม่เหมาะสมกับระบบขนาด เล็กหรือมีข้อจำกัดด้านพลังงาน นอกจากนี้ ยังมีการศึกษาเกี่ยวกับการใช้ตัวกระตุ้นชนิดแลกเปลี่ยน โมเมนตัม (Momentum Exchange Actuator) เช่น ล้อปฏิกิริยา (Reaction Wheel) หรือกลไกไจ โรสโคปแบบควบคุมโมเมนต์ (Control Moment Gyroscope: CMG) ซึ่งมีจุดเด่นคือไม่ต้องพึ่งพา แรงกระทำจากภายนอก ทำให้สามารถใช้งานได้ในสภาวะไร้น้ำหนักหรือบนพื้นผิวที่ไม่มีแรงยึดเกาะ แต่การออกแบบระบบควบคุมสำหรับตัวกระตุ้นชนิดนี้ยังคงพบข้อจำกัดบางประการ เช่น ความล่าช้า ในการตอบสนองต่อแรงรบกวนอันเนื่องมาจากความเสียดทานหรือข้อจำกัดทางกล ด้วยเหตุนี้ ปริญญานิพนธ์ฉบับนี้จึงนำเสนอการออกแบบและพัฒนาระบบควบคุมการทรงตัว สำหรับเครื่องต้นแบบรถจักรยานสองล้อที่มีความแม่นยำและประสิทธิภาพสูง โดยอาศัยแบบจำลอง ทางคณิตศาสตร์พลศาสตร์ที่สอดคล้องกับพฤติกรรมทางฟิสิกส์ของระบบ ร่วมกับการออกแบบตัว ควบคุมเชิงเส้นที่ สามารถปรับเปลี่ยนค่าอัตราขยายได้ตามสภาวะการทำงาน (Gain Scheduling) รวมถึงการสร้างเครื่องต้นแบบจริงเพื่อทดสอบผลลัพธ์เชิงประจักษ์ โครงงานนี้มีจุดเด่นสำคัญในด้าน การใช้ต้น ทุน และพลังงานต่ำ มีขนาดกะทัดรัด ตลอดจนมีความสามารถในการประมวลผลและ ตอบสนองต่อแรงรบกวนได้อย่างรวดเร็วภายใต้ข้อจำกัดของเวลาจริง (Real-time) 1 1.2 วัตถุประสงค์ของโครงงาน 1. เพื่อออกแบบและพัฒนาตัวควบคุมที่สามารถรักษาสมดุลของระบบทรงตัวอัตโนมัติได้อย่าง มีประสิทธิภาพ 2. เพื่อศึกษาการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบทรงตัวอัตโนมัติ 3. เพื่อสร้างต้นแบบตัวควบคุมการทรงตัวที่สามารถนำไปประยุกต์ใช้งานในด้านต่างๆ เช่น ยานพาหนะ ขนาดเล็ก หุ่นยนต์เคลื่อนที่ หรืออุปกรณ์ช่วยรักษาสมดุลสำหรับผู้ขับขี่จักรยาน หรือจักรยานยนต์ 4. เพื่อศึกษาการทำงานของตัวกระตุ้นชนิดแลกเปลี่ยนโมเมนตัม 1.3 ขอบเขตของโครงงาน 1. ศึกษาและสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบทรงตัว 2. ดำเนินการจำลองการทำงานของระบบด้วยคอมพิวเตอร์ (Computer Simulation) เพื่อ เปรียบเทียบ ประสิทธิภาพของตัวกระตุ้นชนิด แลกเปลี่ยนโมเมนตัม 3. เลือกและออกแบบตัว ควบคุมชนิดต่างๆ เช่น Proportional Integral Derivative (PID) และ Linear Quadratic Regulator (LQR) 4. ทดสอบและปรับปรุงประสิทธิภาพของตัวควบคุม เพื่อให้สามารถรักษาเสถียรภาพของ ระบบได้ภายใต้ ข้อจำกัดด้านเวลา ขนาด และพลังงาน 5. สร้า งต้ น แบบระบบทรงตั ว อั ต โนมั ติ เพื่ อ ทดสอบการทำงานจริ ง ของตั ว ควบคุ ม ใน สภาพแวดล้อมจริง 2 1.4 ประโยชน์และผลที่คาดว่าจะได้รับ 1.4.1 ด้านการศึกษาและพัฒนาทักษะนักศึกษา 1. นักศึกษาจะได้ฝึกการบูรณาการองค์ความรู้จากหลายสาขาวิชา เช่น คณิตศาสตร์ประยุกต์ ไฟฟ้าอิเล็กทรอนิกส์ กลศาสตร์ และระบบควบคุม ซึ่งช่วยส่งเสริมความเข้าใจแบบองค์รวมใน การแก้ปัญหาทางวิศวกรรม รวมถึงได้พัฒนาทักษะเชิงปฏิบัติในการออกแบบวงจร สร้างระบบ ควบคุ ม และประกอบชิ้ น งานต้ น แบบ ซึ่ ง เป็ น ทั ก ษะที่ ต รงกั บ ความต้ อ งการของ ภาคอุตสาหกรรม 2. นักศึกษาจะได้ประสบการณ์ตรงในการใช้ซอฟต์แวร์และเครื่องมือมาตรฐานอุตสาหกรรม เช่น การออกแบบโครงสร้างด้วย SolidWorks, การจำลองและออกแบบระบบควบคุมด้วย MATLAB/Simulink และการใช้ระบบเซนเซอร์เพื่อการวัดผลทางทฤษฎี (เช่น การทดลอง Trifilar Pendulum) 3. ได้ฝึกฝนทักษะการวิเคราะห์หาสาเหตุของปัญหาและข้อจำกัดทางกายภาพของระบบจริง (เช่น ความไม่เป็นเชิงเส้นทางกลและความเสียดทาน) และสามารถประยุกต์ใช้ทฤษฎีการ ควบคุมเพื่อสร้างเงื่อนไขหรือสมการในการชดเชยข้อผิดพลาดดังกล่าวได้อย่างมีประสิทธิภาพ 1.4.2 ด้านองค์ความรู้และวิจัย 1. ได้ อ งค์ ค วามรู้ แ ละแนวทางปฏิ บั ติ จ ริ ง ในการออกแบบระบบควบคุ ม การทรงตั ว ด้ ว ย ตัวกระตุ้นชนิดแลกเปลี่ยนโมเมนตัม ซึ่งระบบดังกล่าวยังมีข้อจำกัดในการใช้งานจริงและยังไม่ แพร่หลายในเชิงพาณิชย์ จึงสามารถนำข้อมูลไปต่อยอดเป็นหัวข้อวิจัยเชิงลึกในอนาคตได้ 2. ผลลัพธ์, แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และชุดคำสั่งที่ได้จากโครงงาน สามารถนำไปตีพิมพ์ เผยแพร่ในรูปแบบบทความทางวิชาการ หรือใช้เป็นกรณีศึกษาอ้างอิงสำหรับการเรียนการสอน ในรายวิชาที่เกี่ยวข้องกับพลศาสตร์และระบบควบคุม ทั้งในระดับปริญญาตรีและบัณฑิตศึกษา 1.4.3 ด้านการประยุกต์ใช้งานและสังคม 1. เครื่องต้นแบบที่พัฒนาขึ้น สามารถนำไปประยุกต์ใช้เป็นเทคโนโลยีพื้นฐานในการพัฒ นา ยานพาหนะสองล้อส่วนบุคคลขนาดเล็ก หุ่นยนต์เคลื่อนที่อัตโนมัติ หรืออุปกรณ์ช่วยทรงตัว สำหรับผู้ใช้งานจริงในอุตสาหกรรม 2. โครงงานนี้เป็นแนวทางต้นแบบที่ใช้ทรัพยากรน้อย ต้นทุนต่ำ เหมาะสำหรับสถานศึกษาและ หน่วยงานวิจัยที่มีข้อจำกัดด้านงบประมาณ 3 1.5 แผนการดำเนินงานและงบประมาณ 1.5.1 แผนการดำเนินงาน การดำเนินการแบ่งได้ทั้งหมด 17 กิจกรรม ซึ่งแสดงไว้ในตารางที่ 1.1 ดังนี้ ตารางที่ 1.1 แผนการดำเนินงาน 3 ศึกษาอุปกรณ์ตัวกระตุ้นชนิดแลกเปลี่ยน โมเมนตัม 4 สร้างสมการทางคณิตศาสตร์ของตัวกระตุ้น ชนิดแลกเปลี่ยนโมเมนตัม ทุกคน 5 มีการออกแบบตัวควบคุมเพื่อทำให้ระบบ ทรงตัวรักษาสมดุลได้อย่างอัตโนมัติ พฤฒิพงษ์ วรณัฏฐ์ 6 ทำการจำลองเเละ ทดสอบตัวควบคุม สําหรับระบบทรงตัวอัตโนมัติใน MATLAB พฤฒิพงษ์ วรณัฏฐ์ 7 ดำเนินการเก็บผลจําลองเเละ วิเคราะห์ผล ทุกคน 8 วางเเผนการทดสอบระบบควบคุมกับ อุปกรณ์จริง ทุกคน 9 ดําเนินการออกเเบบชุดทดลองเพือ่ ทดสอบ ตัวควบคุม สุกฤษฎิ์ไชย 10 ทดสอบการทํางานของชุดทดลองด้วย การจําลองการทํางานของ Computer พฤฒิพงษ์ วรณัฏฐ์ 11 ดําเนินการจัดซื้อวัสดุ-อุปกรณ์ สุกฤษฎิ์ไชย 12 ดําเนินการสร้างชุดทดลอง สุกฤษฎิ์ไชย 13 ดําเนินการทดสอบชุดทดลอง สุกฤษฎิ์ไชย 14 ปรับปรุงเเก้ไข Hardware สุกฤษฎิ์ไชย 15 Compare ผลการทดลองกับ Simulation ทุกคน 16 ดําเนินการสรุปและอภิปรายผลลัพธ์จาก การทดสอบชุดทดลอง ทุกคน 17 ดําเนินการจัดทําเล่มปริญญานิพนธ์ ทุกคน ทุกคน Plan . Actual . Plan . Actual . เม.ย.69 ทุกคน . มี.ค.69 ศึกษาข้อมูลตามหัวข้อโครงงาน . ก.พ.69 2 Plan Actual ม.ค.69 ทุกคน ธ.ค.68 กําหนดหัวข้อโครงงานที่ตอ้ งการศึกษา พ.ย.68 1 Plan & Actual ต.ค.68 ผู้รบั ผิดชอบ ใน แต่ละรอบ ก.ย.68 รายละเอียด ส.ค.68 ลำดับ ก.ค.68 แผนการดำเนินงาน Plan Actual Plan Actual Plan Actual Plan Actual Plan Actual Plan Actual Plan Actual Plan Actual Plan Actual Plan Actual Plan Actual Plan Actual Plan Actual Plan Actual 4 1.5.2 งบประมาณ ตารางที่ 1.2 รายละเอียดการจัดสรรงบประมาณ รายละเอียด 1. ค่าส่วนควบคุมและอิเล็กทรอนิกส์ 2. ค่ามอเตอร์ 3. ค่าโครงสร้างและวัสดุ งบประมาณรวม งบประมาณ (บาท) 9,850.47 2,324.00 14,245.78 26,420.25 1.6 กลุ่มผู้ใช้งาน กลุ่มผู้ใช้งานที่คาดว่าจะได้รับประโยชน์จากการศึกษาปริญญานิพนธ์ฉบับนี้ ได้แก่ นักพัฒนา หุ่นยนต์และวิศวกรที่ต้องการต้นแบบแพลตฟอร์มสำหรับศึกษาหรือพัฒนาระบบควบคุมการทรงตัวใน อุปกรณ์เคลื่อนที่ เช่น หุ่นยนต์สองล้อหรือยานพาหนะไร้คนขับ ตลอดจนกลุ่มผู้ใช้งานอุปกรณ์ช่วยเดิน หรืออุปกรณ์ช่วยการทรงตัว ซึ่งสามารถนำองค์ความรู้จากงานวิจัยนี้ไปต่อยอดในการพัฒนาอุปกรณ์ เชิงพาณิชย์ที่มีความเสถียรและตอบสนองได้ดี นอกจากนี้ ผลงานวิจัยยังเป็นประโยชน์ต่อวิศวกรในภาคอุตสาหกรรมยานยนต์ โดยเฉพาะกลุ่ม ที่เกี่ยวข้องกับระบบรักษาสมดุลหรือระบบควบคุมการเคลื่อนที่อัตโนมัติ และยังเหมาะสมอย่างยิ่ง สำหรับหน่วยวิจัยหรือห้องปฏิบัติการที่ต้องการแพลตฟอร์มเชิงทดลองที่มีความยืดหยุ่น สามารถ ปรับเปลี่ยนเงื่อนไขหรือพารามิเตอร์ได้ตามวัตถุประสงค์ของการศึกษา ในด้านการศึกษา ชุดทดลองที่พัฒนาขึ้นสามารถนำไปประยุกต์ใช้เป็นสื่อการสอนในรายวิชาที่ เกี่ยวข้องกับ ระบบควบคุม อัตโนมัติ และหุ่นยนต์ เพื่อให้นักเรียน นักศึกษา และนักวิจัยได้ฝึ ก ออกแบบ ทดสอบ และวิเคราะห์ระบบควบคุมผ่านสถานการณ์จริง เสริมสร้างความเข้าใจทั้งในเชิง ทฤษฎีและภาคปฏิบัติอย่างมีประสิทธิภาพ 5 บทที่ 2 ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง 2.1 ระบบทรงตัวอัตโนมัติ (Self-Balancing Systems) ระบบทรงตัวอัตโนมัติ (Self-Balancing Systems) คือระบบที่สามารถรักษาสมดุลของวัตถุ หรือโครงสร้างทางกายภาพให้อยู่ในตำแหน่งที่ต้องการได้โดยไม่ล้ม แม้จะมีแรงรบกวนจากภายนอก เช่น การเคลื่อนที่ของพื้นผิว , ลม, การสั่นสะเทือน หรือพฤติกรรมของผู้ใช้งาน เช่น ในหุ่นยนต์ที่รับ น้ำหนักบรรทุกเปลี่ยนแปลง ระบบลักษณะนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในระบบควบคุมสมัยใหม่ เนื่องจาก ต้องอาศัยความสามารถในการตัดสินใจที่รวดเร็วและมีความแม่นยำสูง ทั้งในเชิงการวัด การคำนวณ และการกระทำทางกล เพื่อป้องกันไม่ให้ระบบล้มเหลวหรือเกิดอันตราย [1] ระบบดังกล่าวมีบทบาทอย่างกว้างขวางในงานวิศวกรรมหลายสาขา เช่น หุ่นยนต์เคลื่อนที่ (Mobile Robotics), การบินและอวกาศ (Aerospace Engineering), และระบบช่วยเดินสำหรับผู้ พิการ (Assistive Technology) โดยเฉพาะในงานที่ต้องการให้ระบบสามารถรักษาสมดุล ได้เ อง ตลอดเวลาโดยไม่มีการควบคุมจากมนุษย์โดยตรง หรือไม่สามารถพึ่งแรงต้านทานจากพื้นได้ เช่น ดาวเทียมในวงโคจร หรือหุ่นยนต์บนพื้นผิวไม่เรียบ ในทางปฏิบัติ วัตถุหรือระบบที่นำมาใช้งานมักมีลักษณะไม่สมดุลโดยธรรมชาติ (Unbalanced System) เช่น แท่งกลับหัว (Inverted Pendulum) หรือจักรยาน (Bicycle) ซึ่งพฤติกรรมของระบบ จะเปลี่ยนแปลงไปตามสมการเชิงพลวัต (Dynamic Equations) ของระบบนั้น ๆ ดังนั้นจึงจำเป็นต้อง มีอุปกรณ์กระตุ้น (Actuator) หรือกลไกควบคุม เช่น อุปกรณ์แลกเปลี่ยนโมเมนตัม (Momentum Exchange Device) เพื่อปรับพฤติกรรมของระบบให้กลับเข้าสู่จุดสมดุล (Equilibrium Point) ตามที่ กำหนด โดยตัวอย่างของระบบดังกล่าวสามารถดูได้จาก รูปที่ 2.1 ซึ่งแสดง Free-body diagram ของจักรยานที่ติดตั้ง Control Moment Gyroscope (CMG) เพื่อใช้ควบคุมการทรงตัวแบบอัตโนมัติ ซึ่งเป็นหนึ่งในแนวทางการควบคุมที่ไม่ต้องพึ่งพาแรงจากพื้นผิวภายนอก 6 รูปที่ 2.1 Free-body diagram ของจักรยานที่มีระบบ Self-balancing โดยใช้ CMG [2] 2.2 การสร้างแบบจำลองของระบบ (System Modelling) การสร้างแบบจำลองของระบบเป็นกระบวนการที่สำคัญในการวิเคราะห์และควบคุมระบบทาง วิศวกรรม โดยเฉพาะระบบทางกล เช่น หุ่นยนต์ทรงตัว ระบบล้อหมุน และกลไกเชิงซ้อนอื่น ๆ โดย แบบจำลองสามารถสร้างขึ้นได้จากหลายแนวทาง เช่น การใช้กฎของนิวตัน การใช้กลศาสตร์แบบ ลากรังจ์ หรือการแสดงผลในรูปแบบสมการสถานะ (State-Space) 2.2.1 กฎของนิวตัน (Newton’s Law) กฎของนิวตันเป็นสมการพื้นฐานที่ใช้อธิบายพฤติกรรมของวัตถุ ทั้งในขณะเคลื่อนที่และไม่ เคลื่อนที่ โดยในที่นี้เราจะมุ่งเน้นไปที่สมการการเคลื่อนที่ของนิวตัน เพื่อนำไปใช้สร้างแบบจำลองทาง คณิตศาสตร์ของระบบกลไกทางกล โดยแบ่งการเคลื่อนที่ออกเป็น 2 ประเภทหลัก ได้แก่ 1. การเคลื่อนที่เชิงเส้น (Translation Motion) คือ การที่วัตถุเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงหรือ เส้นโค้ง โดยตำแหน่งของวัตถุเปลี่ยนไปตามแกนของระบบพิกัด เช่น แนวแกน x, y หรือ z โดยที่ทุก จุดบนวัตถุเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกันและระยะทางเท่ากัน [3] ∑ 𝐹⃑ = 𝑚𝑎⃑ (2.1) โดยที่ 𝐹⃑ คือ เวกเตอร์ของแรง มีหน่วยเป็นนิวตัน [𝑁] 𝑚 คือ มวล มีหน่วยเป็นกิโลกรัม [𝑘𝑔] 𝑎⃑ คือ เวกเตอร์ความเร่งเชิงเส้น มีหน่วยเป็นเมตรต่อวินาทีกําลังสอง [𝑚/𝑠 2 ] 7 2. การเคลื่อนที่เชิงมุม (Rotation Motion) คือ การที่วัตถุหมุนรอบจุดหมุนหรือแกนหมุน โดยตำแหน่งของแต่ละจุดบนวัตถุจะเปลี่ยนไปในรูปของมุม (Angular Position) แทนระยะทาง [3] ∑ 𝜏⃑ = Ι𝛼⃑ (2.2) โดยที่ 𝜏⃑ คือ เวกเตอร์ของแรงของแรงบิด มีหน่วยเป็นนิวตันเมตร [ 𝑁 ∙ 𝑚] Ι คือ โมเมนต์ความเฉื่อย มีหน่วยเป็นกิโลกรัมเมตรกําลังสอง [ 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ] 𝛼⃑ คือ เวกเตอร์ความเร่งเชิงมุม มีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาทีกําลังสอง [𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 ] สมการทั้งสองนี้สามารถนำไปใช้ในการวิเคราะห์และอธิบายพฤติกรรมของระบบกลไกทางกล ได้อย่างมีประสิทธิภาพ 2.2.2 สมการออยเลอร์–ลากรังจ์ (Euler-Lagrange Equation) ในกรณีที่ระบบมีความซับซ้อน เช่น ระบบที่มีข้อจำกัดหลายจุด หรือต้องพิจารณาหลายแกน พร้อมกัน การใช้กฎของนิวตันอาจไม่สะดวกนัก เนื่องจากต้องวิเคราะห์แรงทุกตัวที่กระทำต่อระบบ ในสถานการณ์เช่นนี้ สมการออยเลอร์ –ลากรังจ์ จึงเป็นเครื่องมือสำคัญที่ช่วยให้การสร้างแบบจำลอง ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Modelling) ของระบบกลไกทำได้ง่ายและมีประสิทธิภาพมากขึ้น โดยอาศัยแนวคิดพื้นฐานทางด้านพลังงาน หลักการของสมการนี้อิงจากผลต่างของพลังงานจลน์ ( 𝑇 ) และพลังงานศักย์ ( 𝑉 ) ของระบบ โดยเรียกว่า Lagrangian 𝐿 =𝑇−𝑉 (2.3) โดยที่ 𝐿 คือ ลากรองเจียน (Lagrangian) 𝑇 คือ พลังงานจลน์ (Kinetic Energy) มีหน่วยเป็นจูล [ 𝐽 ] 𝑉 คือ พลังงานศักย์ (Potential Energy) มีหน่วยเป็นจูล [ 𝐽 ] จะสามารถนำไปใช้ ต่อในสมการออยเลอร์ – ลากรังจ์ (Euler–Lagrange Equation) เพื่อหา สมการการเคลื่อนที่ของระบบดังสมการดังนี้ 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 )= 𝑄𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗̇ 𝜕𝑞𝑗̇ ( (2.4) โดยที่ 𝑄𝑗 คือ แรงกระทําทั่วไป (Generalized Force) มีหน่วยเป็นนิวตัน [𝑁] 𝑞𝑗 คือ พิกัดทั่วไป (Generalized Coordinate) สมการนี้ช่วยให้สามารถสร้างสมการของระบบกลไกได้จากมุมมองพลังงาน โดยไม่จำเป็นต้อง แจกแจงแรงภายนอกทีละแรง จึงเหมาะกับระบบที่มีความซับซ้อนสูงหรือมีข้อจำกัดหลายจุด 8 2.2.3 สมการสถานะ (State - Space Equation) สมการสถานะ (State-Space Equation) คือรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แทนพฤติกรรมของ ระบบพลศาสตร์ (Dynamic System) โดยรูปแบบที่จะกล่าวถึงนี้เป็นสมการสำหรับระบบเชิงเส้น (Linear System) หรือระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรผันตามเวลา (Linear Time-Invariant: LTI System) ซึ่งเน้นการวิเคราะห์ระบบที่มีหลายอินพุตและเอาต์พุต (MIMO system) เหมาะกับการควบคุมระบบ ในเชิงวิศวกรรม เช่น หุ่นยนต์ ระบบไฟฟ้า หรือระบบกลไก โดยสมการสถานะของระบบเชิงเส้นจะ เขียนให้อยู่ในรูปของสมการเมทริกซ์แบบเวกเตอร์ดังนี้ 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) (2.5) 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡) (2.6) โดยที่ 𝑥(𝑡) คือ เวกเตอร์ของตัวแปรสถานะ (State Variables) 𝑢(𝑡) คือ อินพุต (Input) 𝑦(𝑡) คือ เอาต์พุต (Output) 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷 คือ เมตริกซ์ที่แทนพฤติกรรมของระบบ โดยตัวแปรสถานะคือ 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛 ของระบบ จะเขียนใน รูปของ 𝑥 =[𝑥1 𝑥2 ⋯ 𝑥𝑛 ]𝑇 คือเวกเตอร์ สถานะที่มีมิติเท่ากับ n, 𝐴 คือ เมทริกซ์ระบบ มีมิติเท่ากับ n x n, 𝐵 คือ เมทริกซ์อินพุตมีมิติเท่ากับ n x 1, 𝐶 คือ เมทริกซ์เอาต์พุต มีมิติเท่ากับ 1 x n และ 𝐷 คือพจน์ป้อนตรงจากอินพุตสู่เอาต์พุต ซึ่ง โดยทั่วไป 𝐷 จะมีค่าเท่ากับศูนย์ [4] 2.3 การวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ของระบบควบคุม (Mathematical Analysis of Control Systems) การวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ของระบบควบคุมหมายถึงการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์เพื่อ ศึกษาและออกแบบระบบควบคุมอย่างเป็นระบบ ในส่วนนี้จะครอบคลุมเครื่องมือสำคัญได้แก่ การ แปลงลาปลาซ, ฟังก์ชันถ่ายโอน, ระบบควบคุมวงเปิดและวงปิด , และ การวิเคราะห์เสถียรภาพของ ระบบ โดยจะอธิบายหลักการและการนำไปใช้ในงานวิศวกรรมควบคุม โดยหลีกเลี่ยงรายละเอียดการ พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน ทั้งนี้เนื้อหาและภาพประกอบต่าง ๆ จะช่วยให้ผู้อ่านระดับปริญญา ตรีเข้าใจแนวคิดเหล่านี้ได้ง่ายขึ้น 9 2.3.1 การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) การแปลงลาปลาซเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้เปลี่ยนฟังก์ชันในโดเมนเวลาให้อยู่ใน โดเมนความถี่เชิงซ้อน การแปลงนี้นิยามได้โดยสมการพื้นฐานดังนี้ ∞ 𝐹(𝑠) = 𝐿{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 (2.7) 0 โดยที่ f(t) คือฟังก์ชันในโดเมนเวลา (Time domain) และ F(s) คือฟังก์ชันในโดเมนความถี่เชิงซ้อน เมื่อแปลงด้วยตัวแปรเชิงซ้อน s การแปลงลาปลาซช่วย “ลดความยุ่งยาก” ในการวิเคราะห์ระบบ พลวัตเพราะเปลี่ยนสมการอนุพันธ์ในโดเมนเวลาให้กลายเป็นสมการพีชคณิตในโดเมน s [5] ทำให้ง่าย ต่อการหาผลเฉลยหรือการตอบสนองของระบบ ซึ่งมีประโยชน์มากในงานวิศวกรรมควบคุมที่ต้องแก้ สมการเชิงอนุพันธ์ที่ซับซ้อนของระบบต่าง ๆ ในการวิเคราะห์ระบบควบคุม เรามักใช้การแปลงลาปลาซกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้ จาก แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ ตัวอย่างเช่น หากได้สมการเชิงอนุพันธ์ที่แสดงความสัมพันธ์ ระหว่างอินพุต x(t) และเอาต์พุต y(t) ของระบบ เราสามารถทำการแปลงลาปลาซทั้งสองข้าง (โดยถือ ว่าเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์) จะได้สมการในโดเมน s ซึ่งง่ายต่อการแก้หา Y(s) ในรูปพหุนามของ s จากนั้นจึงนำผลลัพธ์กลับมาแปลงกลับลาปลาซ (Inverse Laplace Transform) เพื่อให้ได้คำตอบใน โดเมนเวลา ดังนั้นการแปลงลาปลาซจึงเป็นเครื่องมือหลักในการวิเคราะห์ระบบเชิงเส้นไม่แปรเปลี่ ยน ตามเวลา (LTI systems) เพราะช่วยให้เราศึกษาการตอบสนองชั่วครู่ (Transient response) และ การตอบสนองถาวร (Steady-state response) ของระบบได้อย่างสะดวก ตัวอย่างของการประยุกต์ใช้การแปลงลาปลาซเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์แสดงไว้ใน รูปที่ 2.2 ซึ่งแสดงให้เห็นขั้นตอนการแปลงจากปัญหาทางเวลา (สมการอนุพันธ์) ไปสู่การแก้สมการพีชคณิตใน โดเมน s และแปลงกลับมาสู่โดเมนเวลาเพื่อหาคำตอบสุดท้าย รูปที่ 2.2 ตัวอย่างของการประยุกต์ใช้การแปลงลาปลาซเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์[5] นอกจากนี้ การแปลงลาปลาซยังปูทางไปสู่การกำหนด ฟังก์ชันถ่ายโอน ของระบบที่จะกล่าวถึง ถัดไป ตัวอย่างของการประยุกต์ใช้การแปลงลาปลาซเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ 10 2.3.2 ฟังก์ชันถ่ายโอน (Transfer Function) ฟังก์ชันถ่ายโอนคือรูปแบบการแสดงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุมเชิงเส้นใน โดเมนความถี่เชิงซ้อน โดยนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของสมการ ลาปลาซของสัญญาณขาออกต่อสมการ ลาปลาซของสัญญาณขาเข้า ภายใต้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น (Initial condition) เป็นศูนย์ [6] กล่าวคือ หาก Y(s) คือการแปลงลาปลาซของเอาต์พุต y(t) และ U(s) คือการแปลงลาปลาซของอินพุต u(t) ของ ระบบ (โดยสมมติให้สถานะเริ่มต้นของระบบเป็นศูนย์) ฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) จะนิยามได้ดังนี้ 𝐺(𝑠) = 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) (2.8) ซึ่งแสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างอินพุตและเอาต์พุตของระบบในโดเมน s ฟังก์ชันถ่ายโอนมัก เขียนในรูปของฟังก์ชันหารของพหุนาม ดังสมการที่ 2.9 𝑌(𝑠) 𝑏0 𝑠 𝑛 + 𝑏1 𝑠 𝑛−1 ⋯ + 𝑏𝑛−1 𝑠 + 𝑏𝑛 𝐺(𝑠) = = 𝑛 𝑈(𝑠) 𝑠 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑠 + 𝑎𝑛 (2.9) โดยที่ รากของพหุนามตัวเศษ (Numerator) เรียกว่า ค่าศูนย์ของระบบ (Zeros) รากของพหุนามตัวส่วน (Denominator) เรียกว่า โพลของระบบ (Poles) ซึง่ ตำแหน่งของศูนย์และโพลเหล่านี้มีผลอย่างมากต่อพฤติกรรมการตอบสนองของระบบ ต่อมา ฟังก์ชันถ่ายโอนถูกนำไปใช้ในการวิเคราะห์และออกแบบระบบควบคุมอย่างกว้างขวาง เช่น การใช้ใน การวาดแผนผังบล็อกของระบบเพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบต่าง ๆ การวิเคราะห์ เสถียรภาพผ่านตำแหน่งของโพล และการปรับจูนตัวควบคุม (Controller tuning) โดยใช้วิธีการต่าง ๆ เช่น วิธีโลคัสของราก (Root locus) เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ควรทราบว่าการใช้ฟังก์ชันถ่ายโอนมีข้อ สมมติว่าระบบเป็นเชิงเส้นและเวลาไม่แปรเปลี่ยน นอกจากนี้กรณีระบบหลายอินพุตหลายเอาต์พุต (MIMO systems) การนิยามฟังก์ชันถ่ายโอนจะซับซ้อนขึ้นและอาจต้องใช้เมทริกซ์ของฟังก์ชันถ่าย โอน แต่สำหรับระบบ SISO (Single Input Single Output) ที่พบบ่อย ฟังก์ชันถ่ายโอนเป็นเครื่องมือ หลักที่ช่วยให้นักควบคุมสามารถวิเคราะห์ระบบได้อย่างมีประสิทธิภาพ 2.3.3 แบบจำลองคณิตศาสตร์ของระบบทางกล (Mathematical Modelling of Mechanical Systems) แบบจำลองคณิตศาสตร์ของระบบทางกล คือการสร้างสมการเชิงคณิตศาสตร์ที่แสดงพฤติกรรม การเคลื่อนที่ของระบบทางกล โดยอาศัยพื้นฐานจากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ซึ่งได้กล่าวไว้ในหัวข้อ ก่อนหน้านี้ แบบจำลองดังกล่าวช่วยให้สามารถวิเคราะห์ ตรวจสอบ และออกแบบระบบควบคุมได้ อย่างเป็นระบบ โดยเฉพาะในกรณีของระบบพลศาสตร์เชิงกล 11 การจำลองระบบกลไกสามารถจำแนกตามลักษณะการเคลื่อนที่ออกเป็น 2 ประเภทหลัก คือ การเคลื่อนที่เชิงเส้น (Translational Motion) และการเคลื่อนที่เชิงมุม (Rotational Motion) ซึ่งมี องค์ประกอบพื้นฐานและสมการแรงที่ใช้ในการวิเคราะห์ดังนี้ [5] 1. การเคลื่อนที่เชิงเส้น (Translational Motion) ระบบมวล–สปริง–แดมเปอร์ (Mass–Spring–Damper System) เป็นหนึ่งในระบบทางกลที่ใช้ บ่อยในการศึกษาการตอบสนองของวัตถุเชิงเส้น โดยพิจารณาแรงจากมวล, สปริง, และแดมเปอร์ รวมถึงแรงภายนอกที่กระทำต่อระบบ รูปที่ 2.3 ระบบมวล สปริง แดมเปอร์ที่มีแรงกระทำภายนอก[5] จากตัวอย่างในรูปที่ 2.3 จะเห็นได้ว่าระบบนี้สามารถวิเคราะห์โดยใช้แผนภาพแรงอิสระ (FBD) และนำไปสู่การตั้งสมการสมดุลด้วยกฎของนิวตันข้อที่สอง [3] (∑F = ma) ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ ระหว่างแรงที่กระทำและการเคลื่อนที่ของมวล สำหรับองค์ประกอบแต่ละประเภท ได้แก่ มวล (Mass), สปริง (Spring) และแดมเปอร์ (Damper) นั้น จะมีรูปแบบสมการแรงที่แตกต่างกันตาม ลักษณะการตอบสนอง ซึ่งสามารถสรุปได้ใน ตารางที่ 2.1 ตารางที่ 2.1 ตารางองค์ประกอบระบบมวล สปริง แดมเปอร์ที่มีแรงกระทำภายนอก องค์ประกอบ สัญลักษณ์ สมการแรง หน่วย มวล (Mass) นิวตัน 𝑚 𝐹 = 𝑚𝑥̈ สปริง (Spring) นิวตัน 𝑘 𝐹 = 𝑘𝑥 แดมเปอร์ (Damper) นิวตัน 𝑐 𝐹 = 𝑐𝑥̇ จากรู ป ที่ 2.3 และตารางที่ 2.1 สามารถตั้ ง สมการเชิ ง อนุ พั น ธ์ สามั ญ (ODE) เพื่ อ แสดง พฤติกรรมพลศาสตร์ของระบบมวล–สปริง–แดมเปอร์ เมื่อมีแรงภายนอก F(t) กระทำต่อมวล m ได้ ดังสมการที่ 2.10 นี้ 𝐹(𝑡) = 𝑚𝑥̈ (𝑡) + 𝑐𝑥̇ (𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) (2.10) 12 2. การเคลื่อนที่เชิงมุม (Rotational Motion) การเคลื่อนที่เชิงมุมเป็นรูปแบบการเคลื่อนที่ที่วัตถุหมุนรอบแกนหรือจุดหมุน โดยพฤติกรรม ของระบบจะถูกกำหนดจากแรงบิดและโมเมนต์ความเฉื่อย ซึ่งแตกต่างจากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่ใช้ แรงและมวลในการพิจารณา ตัวอย่างระบบหมุนที่นิยมใช้ในการศึกษา เช่น ระบบเพลาหมุนที่ติดตั้ง สปริงและแดมเปอร์เชิงมุม ซึ่งสามารถใช้วิเคราะห์พฤติกรรมแบบพลศาสตร์ของการหมุนได้ ดังรูปที่ 2.4 แสดงระบบแรงหมุนที่มีแรงบิดกระทำต่อเพลา พร้อมแผนภาพแรงอิสระ (Free-body diagram) ซึ่งช่วยในการวิเคราะห์แรงบิดต่าง ๆ ที่กระทำต่อระบบในขณะหมุน[5] รูปที่ 2.4 ระบบแรงหมุนที่มีแรงบิดกระทำต่อเพลา[5] องค์ประกอบหลักของระบบการหมุนจะประกอบด้วย โมเมนต์ความเฉื่อย (Inertia), สปริง เชิงมุม (Torsional Spring) และ แดมเปอร์เชิงมุม (Rotational Damper) ซึง่ แต่ละองค์ประกอบจะมี ความสัมพันธ์เฉพาะระหว่างแรงบิดและการเคลื่อนไหวเชิงมุม โดยสามารถแสดงรูปแบบสมการของ แรงบิดที่เกิดจากองค์ประกอบแต่ละประเภทได้ใน ตารางที่ 2.2 ตารางที่ 2.2 ตารางองค์ประกอบระบบแรงหมุนที่มีแรงบิดกระทำต่อเพลา องค์ประกอบ สัญลักษณ์ สมการแรง หน่วย โมเมนต์ความเฉื่อย (Inertia) นิวตันเมตร J 𝜏 = 𝐽𝜃̈ สปริงเชิงมุม (Torsional Spring) 𝑘𝜃 𝜏 = 𝑘𝜃 𝜃 นิวตันเมตร แดมเปอร์เชิงมุม (Rotational Damper) นิวตันเมตร 𝑐𝜃 𝜏 = 𝑐𝜃 𝜃̇ จากรู ป ที่ 2.4 และตารางที่ 2.2 สามารถตั้ งสมการเชิง อนุพั นธ์สามัญ ( ODE) เพื่ อ แสดง พฤติกรรมของระบบแรงหมุนที่มีแรงบิด τ(t) กระทำต่อเพลา ซึ่งสัมพันธ์กับการหมุนของระบบตาม สมการที่ 2.11 𝜏(𝑡) = 𝐽𝜃̈ (𝑡) + 𝑐𝜃 𝜃̇ (𝑡) + 𝑘𝜃 𝜃(𝑡) (2.11) 13 2.3.4 ระบบควบคุมแบบวงเปิด (Open-loop Control system) ระบบควบคุมแบบวงเปิ ด (Open-loop Control System) คือระบบที่ไม่มี การป้ อ นกลั บ (Feedback) ซึ่งหมายความว่า สัญญาณควบคุมจะถูกส่งออกจากตัวควบคุมไปยังตัว ระบบ (System) โดยไม่มีการวัดหรือรับข้อมูลย้อนกลับจากเอาต์พุตของระบบเพื่อนำมาปรับสัญญาณควบคุมใหม่ [6] ลักษณะเด่นของระบบแบบเปิดคือความเรียบง่าย ไม่ซับซ้อน และไม่ต้องใช้เซนเซอร์ตรวจวัด ผลลัพธ์ ทำให้ต้นทุนต่ำ เหมาะกับกรณีที่ระบบมีพฤติกรรมคงที่ ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา หรือไม่ จำเป็นต้องควบคุมความแม่นยำสูง อย่างไรก็ตาม เนื่องจากไม่มีการตรวจสอบเอาต์พุตจริง ระบบจึงไม่ สามารถแก้ไขความคลาดเคลื่อน (Error) ที่เกิดขึ้นได้ ส่งผลให้ประสิทธิภาพลดลงเมื่อเกิดความ แปรปรวนจากภายนอกหรือโหลดเปลี่ยนแปลง โครงสร้างโดยรวมของระบบควบคุมแบบเปิดสามารถ แสดงได้ดังรูปที่ 2.5 รูปที่ 2.5 ตัวอย่างแผนภาพบล็อกของ ระบบควบคุมวงเปิด (Open-loop Control System) [4] 2.3.5 ระบบควบคุมแบบวงปิด (Closed-loop Control System) เนื่องจากระบบควบคุมแบบเปิดไม่สามารถเปรียบเทียบเอาต์พุตจริงกับค่าที่ต้องการได้โดยตรง จึงขาดความแม่นยำในการควบคุม และอาจเกิดข้อผิดพลาดสะสมในระบบได้ง่าย เพื่อแก้ปัญหานี้ ระบบควบคุมแบบปิดจึงถูกนำมาใช้ โดยการนำเอาต์พุตจริงของระบบกลับมาเปรียบเทียบกับค่า ควบคุมทีต่้องการ (ค่ารูปแบบอ้างอิง) [6] 14 ความแตกต่างระหว่างค่าที่ต้องการกับค่าจริงของระบบเรียกว่า สัญญาณความคลาดเคลื่อน (Error Signal) ซึ่งจะถูกส่งเข้าสู่ ตัวควบคุม (Controller) เพื่อสร้างสัญญาณควบคุมใหม่ที่มีหน้าที่ลด หรือขจัดข้อผิดพลาดดังกล่าวให้เหลือน้อยที่สุด โดยกระบวนการนี้เป็นหัวใจของระบบควบคุมแบบปิด (Closed-loop Control System) ซึ่งจะทำงานโดยอาศัยการป้อนกลับ (Feedback) อย่างต่อเนื่อง จากเอาต์พุตจริงของระบบ เพื่อให้สามารถควบคุมพฤติกรรมของระบบให้ใกล้เคียงค่าที่ต้องการมาก ที่สุด ดังแสดงในรูปที่ 2.6 รูปที่ 2.6 ตัวอย่างแผนภาพบล็อกของ ระบบควบคุมวงปิด (Closed-loop Control System) [4] ระบบควบคุมวงปิดมีข้อได้เปรียบสำคัญคือ สามารถปรับตัวตามสภาวะจริงได้โดยอัตโนมัติ จึง สามารถชดเชยความคลาดเคลื่อนและลดผลกระทบจากการรบกวนภายนอกได้อย่างมีประสิทธิภาพ ตัวอย่างเช่น ในระบบควบคุมอุณหภูมิแบบเทอร์โมสแตต ตัวควบคุมจะตรวจวัดอุณหภูมิจริงและ เปรียบเทียบกับค่าอ้างอิงอย่างต่อเนื่อง หากอุณหภูมิต่ำกว่าที่กำหนด ระบบจะสั่งงานเครื่องทำความ ร้อนให้ทำงานจนกระทั่งถึงค่าที่ต้องการ จากนั้นจึงหยุดการทำงานโดยอัตโนมัติ กระบวนการนี้สะท้อน ลักษณะของระบบแบบวงปิดที่มีการปรับค่าควบคุมตามผลลัพธ์จริงอย่างต่อเนื่อง ด้วยความสามารถ ในการตอบสนองต่อสภาวะจริง ระบบวงปิดจึงมี ความแม่นยำและความน่าเชื่อถือสูงกว่าระบบวงเปิด โดยเฉพาะในกรณีที่ระบบมีความไม่แน่นอนหรือถูกรบกวนจากสิ่งแวดล้อม อย่างไรก็ตาม ระบบแบบนี้ มักมีโ ครงสร้างซับ ซ้อนกว่า และการออกแบบต้องพิจารณาเรื่อง ความเสถียร (Stability) อย่าง รอบคอบ เนื่องจากการป้อนกลับที่ไม่เหมาะสมอาจทำให้ระบบเกิดการสั่นหรือควบคุมไม่ได้ [6] ในหัวข้อต่อไป จะกล่าวถึงการวิเคราะห์ความเสถียรของระบบควบคุม ซึ่งเป็นปัจจัยสำคัญต่อ การออกแบบระบบวงปิดให้ทำงานได้อย่างปลอดภัยและมีประสิทธิภาพ 15 2.3.6 ความเสถียรของระบบ (Stability Analysis) ความเสถียรของระบบ เป็นคุณสมบัติที่บ่งชี้ว่าการตอบสนองของระบบจะอยู่ภายในขอบเขตที่ เหมาะสม หรือสามารถกลับคืนสู่จุดสมดุลได้เมื่อเวลาผ่านไป หากระบบได้รับสัญญาณรบกวนหรือ อินพุตที่มีขนาดจำกัด ระบบที่มีเสถียรภาพ (Stable System) จะให้เอาต์พุตที่ไม่เพิ่มขึ้นอย่างไม่ สิ้นสุด ขณะที่ระบบไม่เสถียร (Unstable System) จะมีเอาต์พุตที่เติบโตต่อเนื่องหรือลู่ออกนอก ขอบเขตเมื่อตอบสนองต่อสิ่งกระตุ้น สำหรับระบบเชิงเส้น เวลาคงที่ (Linear Time-Invariant: LTI System) โดยอ้างอิงพื้นฐาน เดียวกัน คือการศึกษารากของสมการลักษณะเฉพาะ (Characteristic Equation) บนระนาบเชิงซ้อน (Complex Plane) เพื่อใช้ตัดสินว่าระบบนั้นมีเสถียรภาพหรือไม่ การวิเคราะห์ความเสถียรสามารถ ดำเนินการได้สองแนวทางหลัก ดังนี้ 1. การวิเคราะห์เสถียรภาพจากตำแหน่งโพลของ Transfer Function ในการวิเคราะห์ระบบควบคุมเชิงเส้นด้วยฟังก์ชันถ่ายโอน (Transfer function) เราสามารถ ประเมิ น ความเสถี ย รได้ จากตำแหน่ ง โพลของฟั ง ก์ ชั น ถ่า ยโอนบนระนาบเชิ ง ซ้ อ น s-plane โดยทั่วไปโพลคือรากของตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอน ซึ่งหาได้จากการตั้งสมการตัวส่วนเป็นศูนย์ (Denominator = 0) แล้วแก้หา s ที่เป็นรากของสมการนั้น [7] โพลเหล่านี้อาจเป็นจำนวนจริงหรือตัว คู่ เ ชิ ง ซ้ อ น (Complex conjugates) และตำแหน่ ง ของโพลบนระนาบ s (ค่า 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 ) จะ กำหนดพฤติกรรมการตอบสนองธรรมชาติของระบบ เช่น โพลที่เป็นจำนวนจริงให้การตอบสนองเอ็กซ์ โพเนนเชียล และโพลที่เป็นคู่เชิงซ้อนให้การตอบสนองแบบความถี่ธรรมชาติ (Oscillation) เป็นต้น รูปที่ 2.7 ตำแหน่งของโพลในระนาบเชิงซ้อน s 16 จากรูปที่ 2.7 ระบบเชิงเส้นจะเสถียรเมื่อโพลทั้งหมดของฟังก์ชันถ่ายโอนมีส่วนจริงเป็นลบ โดยโพลในฟากซ้าย (ส่วนสีเขียว, Re<0) ระบบจะเสถียร หากมีโพลที่ส่วนจริงเป็นบวกอยู่ โพลในฟาก ขวา (ส่วนสีแดง, Re>0) ทำให้ระบบไม่เสถียร ส่วนระบบที่มีโพลอยู่บนแกนจินตภาพ (สีฟ้า, Re=0) จะสั่นแบบไม่ลดลง เป็นกรณีขอบเขตของความเสถียรแบบ Marginally Stable หรือเรียกว่า เรียกว่า เสถียรชายขอบ [7] สำหรับการคำนวณตำแหน่งโพลในเชิงปริมาณ เราตั้งสมการตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอนเท่ากับ ศูนย์ และแก้หาค่าโพล ที่เป็นรากของสมการนั้น ซึ่งโพลเหล่านี้ก็คือรากของ สมการลักษณะเฉพาะ (Characteristic equation) ของระบบควบคุมแบบวงปิด (Closed-loop Control system) นั่นเอง เช่น หากระบบมีฟังก์ชันถ่ายโอนแบบเรียบง่าย ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 𝐻(𝑠) = 𝑁(𝑠) 1 = 2 𝐷(𝑠) 𝑠 + 5𝑠 + 6 โดยจะได้สมการลักษณะเฉพาะ s2 + 5s + 6 = 0 ซึ่งมีราก (โพลของระบบ) คือ s = -2 และ s = -3 (อยู่ในฟากซ้ายทั้งคู่ ระบบนี้จึงเสถียร) อีกกรณีหากสมการลักษณะเฉพาะมีราก s = +0.5 ระบบนั้น จะไม่เสถียรเพราะมีโพลอยู่ในเขตไม่เสถียรของ s-plane นอกจากนี้เรายังสามารถใช้ เกณฑ์ของรูธ-ฮูร์ วิทซ์ (Routh–Hurwitz criterion) เพื่อประเมินจำนวนโพลในฟากขวาโดยไม่ต้องแก้สมการพหุนาม อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม การตรวจสอบโดยตรงจากรากของพหุนามลักษณะเป็นวิธีตรงไปตรงมาที่ แสดงผลชัดเจนว่าระบบเสถียรหรือไม่ [8] 2. การวิเคราะห์เสถียรภาพจากสมการสถานะ (State-Space Stability) อีกวิธีหนึ่งในการวิเคราะห์ความเสถียรของระบบคือการใช้รูปแบบ สมการสถานะ (Stateequation) ซึ่งเราพิจารณา ค่าลักษณะเฉพาะ หรือ Eigenvalues ของเมทริกซ์สถานะ A ของระบบ โดยทั่ ว ไป สำหรั บ ระบบเชิง เส้ น ที่กำหนดในรู ปสมการสถานะ (State Equation) ตำแหน่ ง ของ Eigenvalues ของเมทริกซ์ A (ซึ่งเป็นรากของสมการ Det(SI - A) = 0) จะกำหนดเสถียรภาพของ ระบบภายใน (Internal Stability) และเสถียรภาพของจุดสมดุลที่จุดกำเนิด สำหรับระบบไม่มีอินพุต แนวคิดนี้สอดคล้องกับการวิเคราะห์โพลของฟังก์ชันถ่ายโอนที่ได้กล่าวไป เนื่องจากสำหรับระบบเชิง เส้นเวลาคงที่แบบไม่มีการยกเลิกโพล-ซีโรที่ฟากขวา Eigenvalues ของ A จะตรงกับตำแหน่งโพลของ ระบบ (ของฟั ง ก์ ชั น ถ่า ยโอนแบบปิ ด ลู ป ) นั่ น เอง [9] โดยระบบจะเสถี ย รอย่า งสั ม บู ร ณ์ (Asymptotically Stable) เมื่อ Eigenvalue ทุกค่าของเมทริกซ์ A มีส่วนจริงเป็นลบ หรืออยู่ในฟาก ซ้ายของระนาบเชิงซ้อน (Open Left-Half Plane, OLHP) หากมี Eigenvalue ใดที่มีส่วนจริงเป็น บวก ระบบจะ ไม่เสถียร แม้ค่าอื่นจะอยู่ในฟากซ้ายก็ตาม [10] ตัวอย่างดังรูปที่ 2.8 17 รูปที่ 2.8 แผนภาพตัวอย่างตำแหน่ง Eigenvalues ของเมทริกซ์สถานะ A ในระนาบเชิงซ้อน จากรูปที่ 2.8 กรณี 𝜆1 = -1,𝜆2= +2 → 𝜆2 อยู่ในฟากขวา (Re > 0) ดังนั้นระบบจึงไม่เสถียร หาก Eigenvalue บางตัวมีส่วนจริงเป็นศูนย์ (เช่น 𝜆 = 0 หรือ 0 + 𝑗𝜔 ) โดยไม่มีค่าใดเป็นบวก ระบบ จะเป็น กึ่งเสถียร (Marginally Stable) คือสถานะบางแกนจะคงอยู่หรือสั่นต่อเนื่อง และอาจหลุด จากสมดุลเมื่อถูกรบกวน สรุป ได้ว่า การวิเคราะห์ความเสถียรของระบบเชิ งเส้นเวลาคงที่ (LTI System) สามารถ ดำเนินการได้โดยการตรวจสอบรากของสมการลักษณะเฉพาะ (Characteristic Equation) ทั้งใน โดเมนของฟังก์ชันถ่ายโอน (ตำแหน่งโพล) และในโดเมนของสมการสถานะ (ค่า Eigenvalue ของ เมทริ ก ซ์ A) ซึ่ ง ให้ ผ ลลั พ ธ์ ที่ ส อดคล้ อ งกั น ตามหลั ก เกณฑ์ ที่ ว่า ระบบจะเสถี ย รสมบู ร ณ์ (Asymptotically Stable) ก็ต่อเมื่อโพลหรือ Eigenvalue ทุกค่ามีส่วนจริงเป็นลบ หรืออยู่ในฟาก ซ้ายของระนาบเชิงซ้อน (Left-half of the Complex Plane) หากไม่เป็นไปตามนี้ ระบบอาจเป็น เพียงเสถียรชายขอบ (Marginally Stable) หรือไม่เสถียร (Unstable) ได้ ทั้งนี้ ผู้ออกแบบระบบควร ให้ความสำคัญกับการพิจารณาเสถียรภาพเป็นลำดับแรก เนื่องจากระบบที่ไม่เสถียรไม่สามารถใช้งาน ได้ตามวัตถุประสงค์ ในขณะที่ระบบที่เสถียรชายขอบมักต้องเพิ่มแดมป์หรือออกแบบตัวควบคุม เพิ่มเติมเพื่อให้ระบบมีความเสถียรอย่างน่าเชื่อถือยิ่งขึ้น 2.4 สมบัติเชิงโครงสร้างของระบบ (System Properties) สมบัติเชิงโครงสร้างของระบบ คือคุณสมบัติพื้นฐานที่แสดงถึงศักยภาพของระบบในการ ตอบสนองต่ออินพุตและแสดงผลผ่านเอาต์พุต ซึ่งไม่ขึ้นกับค่าพารามิเตอร์ของระบบโดยตรง แต่ เกี่ยวข้องกับลักษณะโครงสร้างของสมการสถานะ เช่น รูปร่างของเมทริกซ์ A, B, CA, B, CA, B, C และจำนวนสถานะของระบบ 18 คุณสมบัติเหล่านี้มักใช้เป็นเกณฑ์เบื้องต้นในการพิจารณาว่าระบบสามารถนำไปออกแบบตัว ควบคุมหรือสังเกตสถานะได้หรือไม่ โดยเฉพาะสองคุณสมบัติหลัก ได้แก่ ความสามารถควบคุมได้ (Controllability) ซึ่งบ่งชี้ว่าเราสามารถควบคุมสถานะทั้งหมดของระบบให้เป็นไปตามที่ต้องการได้ หรือไม่ และ ความสามารถสังเกตได้ (Observability) ซึ่งแสดงถึงความสามารถในการประเมินค่าของ สถานะทั้งหมดจากข้อมูลเอาต์พุต 2.4.1 การควบคุมได้ (Controllability) การควบคุมได้ (Controllability) คือ คุณสมบัติของระบบที่เราสามารถควบคุมระบบให้ มี พฤติกรรมตามที่เราต้องการได้ทุกกรณี ระบบโดยทั่วไปที่ถูกสร้างขึ้นอย่างถูกต้องจะมีคุณสมบัติข้อนี้ โดยอัตโนมัติ ยกเว้นบางระบบซึ่งอาจจะเกิดจากความเป็นไปไม่ได้ทางกายภาพ [4] ในการทดสอบความสามารถควบคุม สามารถพิจารณาจากระบบพลศาสตร์เชิงเส้นสามารถ แสดงในรูปสมการสถานะ 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) เพื่อทดสอบว่าระบบนี้สามารถควบคุมได้หรือไม่ จะใช้สิ่งที่เรียกว่า เมทริกซ์ความสามารถควบคุม (Controllability Matrix) ซึ่งนิยามโดย 𝑀 = [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2 𝐵 ⋯ 𝐴𝑛−1 𝐵] (2.12) โดยระบบจะควบคุมได้อย่างสมบูรณ์ (Completely Controllable) ก็ต่อเมื่อ Rank(M) = n โดยที่ n คือจำนวนสถานะของระบบ หรือ det(M) ≠ 0 เมื่อระบบผ่านเงื่อนไขข้างต้น จึงสามารถเข้าสู่ขั้นตอน การออกแบบตัวควบคุมแบบป้อนกลับสถานะ (State Feedback Control) ได้ แม้ว่าการทดสอบความสามารถควบคุ มสามารถทำได้จากเมทริ กซ์ M โดยตรง แต่ในเชิ ง โครงสร้างแล้ว เรายังสามารถแปลงระบบให้เป็นรูปแบบพิเศษที่เรียกว่า Controllable Canonical Form (CCF) เพื่อวัตถุประสงค์ด้านการวิเคราะห์และความเข้าใจที่ง่ายขึ้น รูปแบบนี้ช่วยให้เห็นชัดเจน ว่าสถานะภายในแต่ละตัวตอบสนองต่ออินพุตอย่างไร ผ่านโครงสร้างแบบลำดับขั้นของเมทริกซ์ A และตำแหน่งเฉพาะของอินพุตในเมทริกซ์ B โดยรูปแบบของระบบใน Controllable Canonical Form สำหรับระบบอันดับ n มีลักษณะดังนี้ (2.13) (2.14) (2.15) 19 2.4.2 การสังเกตได้ (Observability) ความสามารถสังเกตได้ (Observability) เป็นคุณสมบัติของระบบพลศาสตร์ที่บ่งชี้ว่า สามารถ ประเมินค่าทุกสถานะภายในของระบบได้อย่างถูกต้อง จากข้อมูลเอาต์พุตและอินพุตในช่วงระยะเวลา ที่จำกัด กล่าวคือ แม้สถานะจะไม่สามารถวัดได้โดยตรงจากเซนเซอร์ แต่หากระบบมีคุณสมบัติการ สังเกตได้ ก็สามารถใช้เอาต์พุตร่วมกับแบบจำลองของระบบในการคำนวณย้อนกลับ (estimation) เพื่อให้ทราบถึงค่าของสถานะเหล่านั้นได้อย่างแม่นยำ [4] ในทางปฏิบัติ ระบบควบคุมหลายระบบไม่สามารถติดตั้งเซนเซอร์วัดสถานะทั้งหมดได้ เช่น หุ่นยนต์เคลื่อนที่ หรือระบบสมดุลแบบสองล้อ จึงจำเป็นต้องอาศัยการออกแบบตัวสังเกตสถานะ (State Observer) เพื่อประมาณค่าของสถานะที่มองไม่เห็นจากข้อมูลเอาต์พุตเท่านั้น โดยพิจารณา จากระบบพลศาสตร์เชิงเส้นสามารถแสดงในรูปสมการสถานะ 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) ระบบจะมี คุณสมบัติสังเกตได้หากสามารถใช้เอาต์พุตและอินพุต เพื่อคำนวณหรือประมาณค่าของสถานะได้ครบ ทุกมิติ หากสถานะบางตัวไม่มีผลใด ๆ ต่อเอาต์พุตเลย หรือไม่มีการส่งอิทธิพลผ่านพฤติกรรมของ ระบบใด ๆ ไปเอาต์พุตภายในช่วงเวลาใด ๆ ก็จะถือว่าระบบนั้น สังเกตไม่ได้ (Unobservable) ในทางคณิตศาสตร์ ความสามารถสังเกตได้สามารถตรวจสอบได้โดยใช้ เมทริกซ์การสังเกตได้ (Observability Matrix) ซึ่งนิยามดังนี้ (2.16) โดยที่ n คือจำนวนสถานะของระบบ เงื่อนไขที่ระบบจะสังเกตได้อย่างสมบูรณ์ คือ Rank(N) = n หรือ det(N) ≠ 0 หาก rank(N)<n จะถือว่าระบบ สังเกตไม่ได้บางส่วนหรือทั้งหมด ซึ่งอาจทำให้ระบบไม่ สามารถออกแบบ Observer ได้ หรือประสิทธิภาพของการควบคุมลดลง 2.5 ตัวกระตุ้นแบบแลกเปลี่ยนโมเมนตัม (Momentum Exchange Actuator) การแลกเปลี่ ย นโมเมนตั ม (Momentum Exchange) คื อ วิ ธี ที่ ระบบสามารถควบคุ ม การ เคลื่อนไหวหรือรักษาสมดุลของตัวเองได้ โดยอาศัยการหมุนของชิ้นส่วนภายใน เช่น ล้อหรือจานหมุน โดยไม่ต้องพึ่งพาแรงจากภายนอก เช่น แรงจากพื้นหรือแรงลม 20 ในระบบแบบนี้จะมีชิ้นส่วนที่สามารถหมุนได้อย่างอิสระ เช่น ล้อปฏิกิริยา (Reaction Wheel) หรือ ไจโรสโคป (Gyroscope) เมื่อล้อภายในหมุนไปในทิศหนึ่ง ตัวระบบจะเคลื่อนไปในทิศตรงกัน ข้าม (เหมือนการหมุนพวงมาลัยแล้วตัวรถหมุนตาม) ซึ่งเป็นผลมาจากหลักฟิสิกส์ที่ว่า ทุกแรงกิริยาจะ มีแรงปฏิกิริยาเท่ากันในทิศตรงกันข้าม[3] ∑𝑇𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑙 = 𝑑𝐿 𝑑𝑡 (2.17) หากแรงบิดภายนอกเป็นศูนย์ (T_external = 0 ) จะได้ว่า โมเมนตัมเชิงมุม (L) ของระบบคงที่ ซึ่งเป็นหลักการพื้นฐานของการควบคุมแบบไม่ใช้แรงภายนอก เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงมุมหรือความเร็ว เชิงมุมของชิ้นส่วนภายใน ระบบหลักจะเกิดการเคลื่อนไหวในทิศทางตรงกันข้ามเพื่อรักษาโมเมนตัม รวมให้คงที่ ตัวกระตุ้นที่อาศัยหลักการนี้สามารถแบ่งออกได้เป็น 2 ประเภทหลัก ได้แก่ Reaction Wheel และ Control Moment Gyroscope (CMG) ซึ่งทั้งสองแบบมีหลักการทำงานแตกต่างกัน และเหมาะกับการใช้งานที่หลากหลาย รายละเอียดจะอธิบายในหัวข้อถัดไปเมื่อมีการเปลี่ยนมุ มทาง ภายใน ระบบหลักจะหมุนตอบโต้เพื่อรักษาโมเมนตัมรวมให้คงที่ ตัวกระตุ้นประเภทนี้สามารถแบ่ง ออกเป็น 2 ชนิดหลัก ได้แก่ Reaction Wheel และ Control Moment Gyroscope (CMG) 2.5.1 Reaction Wheel Reaction Wheel คืออุปกรณ์ที่ใช้ควบคุมการทรงตัวโดยอาศัยการหมุนของมวลภายใน เพื่อ สร้างแรงบิด (Torque) ปฏิกิริยากลับมายังโครงสร้างหลักของระบบ ตัวล้อหมุนได้อิสระและสามารถ เร่งหรือชะลอความเร็วด้วยมอเตอร์ไฟฟ้า เมื่อมวลใน Reaction Wheel หมุนในทิศทางหนึ่ง ตัว โครงสร้างของจักรยานหรือหุ่นยนต์จะได้รับแรงบิดในทิศทางตรงกันข้าม ซึ่งเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์ โมเมนตัมเชิงมุมของนิวตัน [11] สามารถแสดงการเคลื่อนไหวและมุม ดังรูปที่ 2.9 รูปที่ 2.9 Reaction Wheel 21 และสามารถเขียนสมการได้ดังสมการที่ 2.18 𝜏 = 𝐼𝜃̈ (2.18) โดยที่ 𝜏 คือ แรงบิด (Torque) ที่เกิดจากล้อหมุน มีหน่วยเป็นนิวตันเมตร [ 𝑁 ∙ 𝑚] 𝐼 คือ โมเมนต์ความเฉื่อยของล้อ มีหน่วยเป็นกิโลกรัมเมตรกําลังสอง [ 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ] 𝜃̈ คือ ความเร่งเชิงมุมของล้อหมุน มีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาทีกําลังสอง [𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 ] 2.5.2 Control moment gyroscope (CMG) Control moment gyroscope คืออุปกรณ์ที่ใช้สร้างแรงบิด (Torque) เพื่อควบคุมการทรง ตัวหรือเปลี่ยนทิศทางของวัตถุ โดยอาศัยหลักการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมซึ่งสามารถนำไปประยุกต์ใช้ ในระบบที่ต้องการรักษาสมดุลโดยไม่พึ่งพาแรงจากภายนอก เช่น หุ่นยนต์หรือพาหนะทรงตัวอัตโนมัติ ที่ทำงานบนพื้นผิวลื่น หรือในสภาวะที่ไม่มีแรงต้านจากพื้นผิว เช่นในอวกาศ ตัวอย่างพฤติกรรมของ ระบบที่ใช้ CMG สามารถดูได้จาก รูปที่ 2.10 รูปที่ 2.10 Control moment gyroscope (CMG) ซึ่งแสดงทิศทางของการเคลื่อนไหวและมุมที่สัมพันธ์กันระหว่างจานหมุนและกิมบอล โดยสามารถ แสดงความสัมพันธ์ทางพลศาสตร์ของระบบได้ด้วย สมการที่ 2.19 [12] 𝜏 = 𝐼𝑓𝑧 𝛽̇ × 𝛺 × cos (𝛽) (2.19) โดยที่ 𝜏 คือ แรงบิด มีหน่วยเป็นนิวตันเมตร [ 𝑁 ∙ 𝑚 ] 𝛺 คือ ความเร็วของการหมุนจาน มีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาที [𝑟𝑎𝑑/𝑠2 ] 𝛽̇ คือ ความเร็วในการเอียงกิมบอล มีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาที [𝑟𝑎𝑑/𝑠2 ] 𝐼𝑓𝑧 คือ โมเมนต์ความเฉื่อยของจานหมุน มีหน่วยเป็นกิโลกรัมเมตรกําลังสอง [ 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2] 22 2.6 ตัวควบคุมเชิงเส้น (Linear Controllers) ตัวควบคุมเชิงเส้นเป็นแนวทางการควบคุมระบบที่อิงจากหลักการของระบบเชิงเส้นไม่แปรผัน ตามเวลา (LTI) โดยใช้สมการถ่ายโอนในการวิเคราะห์และออกแบบ เพื่อปรับพฤติกรรมของระบบให้ ตอบสนองเร็วขึ้น มีเสถียรภาพ และลดข้อผิดพลาดคงค้าง ตัวควบคุมเหล่านี้เหมาะกับระบบ SISO โดยเฉพาะ PID Controller ที่ แ ม้ จะมี โ ครงสร้า งเรี ย บง่า ย แต่ สามารถควบคุ ม ระบบได้ อ ย่า งมี ประสิทธิภาพ [4] 2.6.1 ตัวควบคุมแบบ PID (PID Control) การควบคุ ม แบบ PID (Proportional-Integral-Derivative) เป็ น รู ป แบบที่ นิ ย มมากใน อุตสาหกรรม เพราะง่ายต่อการใช้งานและให้ผลลัพธ์ที่ดีโดยไม่ต้องมีการคำนวณซับซ้อนมาก เช่น ระบบอุณหภูมิ ความเร็ว แรงดัน ระดับน้ำ โดยที่มีพจน์ที่สำคัญ ดังนี้ • P – Proportional (สัดส่วน) ควบคุมโดยพิจารณาความผิดพลาดปัจจุบั น (Error) ระหว่างค่าที่ต้องการ (Setpoint) และค่าจริง (Measured Value) ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการคณิตศาสตร์ได้ดังต่อไปนี้ 𝑢𝑃 (𝑡) = 𝐾𝑃 ∙ 𝑒(𝑡) (2.20) • I – Integral (อินทิกรัล) พิจารณาความผิดพลาดสะสมในอดี ต เพื่อช่วยให้ระบบไปถึงเป้าหมายแม้มีความล่าช้า หรือแรงรบกวน ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการคณิตศาสตร์ได้ดังต่อไปนี้ 𝑡 𝑢𝐼 (𝑡) = 𝐾𝐼 ∙ ∫ 𝑒(𝜏) 𝑑𝜏 • (2.21) 𝑡0 D – Derivative (อนุพันธ์): พิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงของความผิดพลาด เพื่อช่วยลดความผันผวน และทำให้ ระบบตอบสนองได้เร็ว ขึ้น โดยไม่เกิดการสั่น ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการคณิตศาสตร์ได้ ดังต่อไปนี้ 𝑢𝐷 (𝑡) = 𝐾𝐷 ∙ 𝑑 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 (2.22) 23 รูปที่ 2.11 แผนผังการทำงานของระบบควบคุมประเภทพีไอดี [13] จากแผนผังการทำงานของระบบควบคุมประเภทพีไอดี รูปที่ 2.11 กฎการควบคุมพีไอดี สามารถเขียนได้เป็นสมการคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้ 𝑢𝑡 (𝑡) = 𝑢𝑃 (𝑡) + 𝑢𝐼 (𝑡) + 𝑢𝐷 (𝑡) 𝑡 = 𝐾𝑃 ∙ 𝑒(𝑡) + 𝐾𝐼 ∙ ∫ 𝑒(𝜏) 𝑑𝜏 + 𝐾𝑑 ∙ 𝑡0 𝑑 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 (2.23) โดยตัวควบคุม PID สามารถช่วยให้ระบบมีพฤติกรรมการตอบสนองที่เหมาะสม ทั้งในช่วง Transient และ Steady-State โดยมีรายละเอียดดังนี้ • ในช่วง Transient : PID ช่วยลดค่า เปอร์เซ็นต์โอเวอร์ชูต (Percent Overshoot) และลด เวลาเข้าสู่สภาวะคงตัว (Settling Time) ทำให้ระบบตอบสนองได้รวดเร็วและราบรื่นยิ่งขึ้น เป็นต้น • ในช่ ว ง Steady-State : จุ ด มุ่ ง หมายคื อ การลดหรื อ ขจั ด ค่า ความคลาดเคลื่ อ นคงที่ (Steady-State Error) ให้เหลือน้อยที่สุดหรือเป็นศูนย์ เนื่องจากระบบที่เราศึกษาอยู่เป็นระบบเชิงเส้นไม่เปลี่ยนตามเวลา (Linear Time-Invariant: LTI system) เราจึงสามารถนำเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ เช่น Laplace Transform มาใช้เพื่อช่วยใน การวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบได้อย่างมีประสิทธิภาพ การแปลงลาปลาซช่วยให้เราสามารถแปลงสมการเชิงอนุพันธ์ในโดเมนเวลาให้อยู่ในรูปของ พหุนามในโดเมนความถี่ (s-domain) ซึ่งง่ายต่อการวิเคราะห์และออกแบบระบบควบคุม ทั้งในแบบ Open-Loop (ระบบเปิด) และ Closed-Loop (ระบบป้อนกลับ) 24 • ใน Open-Loop : เราสามารถวิเคราะห์พฤติกรรมพื้นฐานของระบบ เช่น ความเสถียร การตอบสนองเริ่มต้น และการถ่ายโอนสัญญาณ (Transfer Function) โดยไม่คำนึงถึงการ ป้อนกลับ • ใน Closed-Loop : เราจะพิ จารณาผลกระทบจากการป้ อ นกลั บ (Feedback) ที่ ช่ ว ย ปรับปรุงประสิทธิภาพของระบบ เช่น ลด Steady-state error, เพิ่มความเสถียร, หรือปรับ ความเร็วในการตอบสนอง ด้วยการใช้ Laplace Transform ร่วมกับการวิเคราะห์ระบบในโดเมน s เราสามารถออกแบบตัว ควบคุม เช่น PID เพื่อให้ระบบมีพฤติกรรมตามที่ต้องการ ทั้งในช่วง Transient และช่วง Steady State ได้อย่างเป็นระบบและแม่นยำ 2.6.2 ทางเดินของราก (Root-locus) Root Locus ใช้ในการวิเคราะห์ว่า ตำแหน่งของโพล (Poles) และ ซีโร่ (Zeros) ของระบบ Closed-Loop จะเปลี่ย นแปลงไปอย่างไรเมื่อปรับค่า Gain (K) ในระบบ Open-Loop Transfer Function ซึ่งตำแหน่งของโพลเหล่านี้มีผลโดยตรงต่อพฤติกรรมของระบบ เช่น ความเร็วในการ ตอบสนอง (Response Speed), ความสั่นของระบบ (Oscillation), ความเสถียร (Stability) และ ค่า Steady-state Error โดยที่การพล็อต เพื่อดูทางเดินรากจะถูกพล็อต บน S-Plane ดังรูปที่ 2.12 รูปที่ 2.12 ทางเดินรากบน S-Plane 25 2.7 ตัวควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (Optimal Control) การควบคุมเชิงเหมาะสม (Optimal Control) เป็นแนวทางออกแบบระบบควบคุมโดยกำหนด ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (Objective/Cost) เพื่อชั่งน้ำหนักระหว่าง “ความเบี่ยงเบนของสถานะ” กับ “ความพยายามควบคุม” ให้เหมาะสมภายใต้พลวัตของระบบและข้อจำกัดฮาร์ดแวร์ เช่น แรงบิด/ กำลังไฟ [4] ซึง่ กำหนดแบบจำลองเชิงสถานะของระบบเชิงเส้นไม่แปรผันตามเวลา (LTI) ได้ดังนี้ 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 (2.24) และกำหนด Cost Function แบบกำลังสองช่วงเวลาอนันต์ได้ดังนี้ ∞ 𝐽 = ∫ [𝑥 𝑇 𝑄𝑥(𝑡) + 𝑢𝑇 𝑅𝑢] 𝑑𝑡 (2.25) 0 โดยที่ 𝑄 คือ เมทริกซ์ถ่วงน้ำหนักของสถานะ (𝑄 ≥ 0) 𝑅 คือ เมทริกซ์ถ่วงน้ำหนักของสถานะ (𝑅 > 0) 2.7.1 ตัวควบคุมแบบ LQR (Linear Quadratic Regulator) ตัวควบคุมแบบ LQR ถูกออกแบบมาเพื่ อสร้างหรือรักษาเสถียรภาพ (Regulator) สำหรับ ระบบเชิงเส้น (Linear system) โดยกำหนดฟังก์ชันเป้าหมายเป็นฟังก์ชัน กำลังสอง (Quadratic function) ของค่าตัวแปรสถานะและตัวแปรอินพุต โดยสามารถเขียนออกมาเป็นแผนภาพบล็อคได้ดัง รูปที่ 2.13 รูปที่ 2.13 แผนภาพบล็อคการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด 26 จากรูป กฎควบคุม u(t) ที่ทำให้ J ในสมการ 2.25 ต่ำสุดสำหรับระบบ (2.24) ภายใต้เงื่อนไขว่า A และ B ควบคุมได้หรืออย่างน้อย Stabilizable และ (A, Q1/2) Detectable ผลเฉลยที่เหมาะสมที่สุด มีรูป ป้อนกลับสถานะเชิงเส้น 𝑢 = −𝐾𝑥 (2.26) โดยสามารถหาค่าคงที่การควบคุม 𝐾 ได้จากสมการริกกาตี้ (Riccati Equation) ที่พิสูจน์มาจากวิธี สวีพ (Sweep Method) แสดงดังสมการที่ 2.27 −𝑆̇ = 𝑆𝐴 + 𝐴𝑇 𝑆 − 𝑆𝐵𝐵𝑇 𝑆 +𝑄 𝑅 (2.27) เมื่อ 𝜆(𝑡) = 𝑆(𝑡)𝑥(𝑡) และ 𝑢 = −𝑘𝑥 ทำให้สามารถเขียนกฎการควบคุมใหม่ได้ดังนี้ 𝑢 = −𝐾𝑥 = 𝐵𝑇 𝑆 𝑥 𝑅 (2.28) โดยที่ 𝐾= 𝐵𝑇 𝑆 𝑅 (2.29) และเมื่อทำการพิจารณาสมการริกกาตี้ พบว่าเมทริกซ์ 𝑆 = 𝑆(𝑡) เปลี่ยนแปลงตามเวลาซึ่งจะทำให้ เวกเตอร์อัตราขยาย 𝐾 = 𝐾(𝑡) เปลี่ยนแปลงตามเวลาด้วยเช่นกัน ดังนั้นเพื่อให้ความซับซ้อนลดลง จึง พิจารณาสมการริกกาตี้ที่สถานะคงตัวแทน โดยกำหนดให้ 𝑆̇ = 0 จะได้ 𝑆𝐴 + 𝐴𝑇 𝑆 − 𝑆𝐵𝐵𝑇 𝑆 +𝑄 =0 𝑅 (2.30) ซึ่งจะได้เมทริกซ์ 𝑆 ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้นก็จะได้ 𝐾 ที่เป็นเวกเตอร์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตาม เวลาเช่นกัน โดยเรียกสมการนี้ว่า สมการริกกาตี้แบบพีชคณิต (Algebraic Riccati Equation) และ เป็นสมการเมทริกซ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น 27 บทที่ 3 ขั้นตอนการออกแบบ 3.1 ความต้องการของโครงงาน (Requirements) โครงงานนี้มีความต้องการออกแบบและพัฒนาตัวควบคุมสำหรับระบบทรงตัวอัตโนมัติโดยใช้ ตัวกระตุ้นชนิดแลกเปลี่ยนโมเมนตัม โดยได้กำหนดความต้องการดังต่อไปนี้ 1. ใช้ตัวควบคุมชนิด LQR ในการทรงตัวซึ่งสามารถปรับพารามิเตอร์ได้ 2. ระบบต้องสามารถรักษาสมดุลของวัตถุในแนวดิ่งด้วยความคลาดเคลื่อนเชิงมุมไม่เกิน ±5° 3. ตัวต้นแบบต้องสามารถติดตั้งอุปกรณ์ควบคุม ได้ภายในโครงสร้างที่กำหนด 4. ระบบต้องมีความสามารถในการควบคุมด้วย Reaction wheel หรือ CMG โดยไม่ต้อ ง อาศัยแรงสัมผัสจากพื้น 5. ระบบสามารถรองรับการจำลอง (Simulation) และการควบคุมจริง (Real-world Test) 6. ระบบใช้เซนเซอร์ IMU ตรวจจับมุมเอียง 3.2 ข้อจำกัด (Constraints) โดยการออกแบบและพัฒนาตัวควบคุมสำหรับระบบทรงตัวอัตโนมัติโดยใช้ตัวกระตุ้นชนิด แลกเปลี่ยนโมเมนตัม จำเป็นที่จะต้องมีข้อจำกัดในการออกแบบ โดยเป็นไปตามข้อกำหนดดังต่อไปนี้ 1. มอเตอร์ที่ใช้ในการขับเคลื่อนต้องเป็นมอเตอร์กระแสตรง (DC Motor) 2. แรงดันไฟฟ้าที่ใช้เพื่อขับเคลื่อนมอเตอร์ต้องมีขนาดไม่เกิน 12 โวลต์ 3. การติดตั้ง Microcontroller, Driver และ IMU ต้องคำนึงถึงพื้นที่จำกัดของโมเดล จึงควร ออกแบบบอร์ดให้เล็ก ติดตั้งได้มั่นคง และไม่รบกวนจุดศูนย์ถ่วง 4. ระบบต้องมีขนาดทั้งหมด 20 × 45 × 25 เซนติเมตรและน้ำหนักรวมไม่เกิน 10 กิโลกรัม 28 3.3 มาตรฐานที่เกี่ยวข้อง (Standards) 1. UL1007 – มาตรฐานสายทองแดงสำหรับงานอิเล็กทรอนิกส์ มาตรฐานของสายไฟชนิดหนึ่งที่ได้รับการรับรองจาก Underwriters Laboratories (UL) ซึ่ง เป็นหน่วยงานรับรองความปลอดภัยระดับสากลของสหรัฐฯ โดยสายไฟประเภทนี้ถูกออกแบบมา เฉพาะสำหรับ วงจรควบคุมแรงดันต่ำ , งานอิเล็กทรอนิกส์, การเดินสายภายในอุปกรณ์, และ การใช้ งานภายในตู้ควบคุม ในระบบไฟฟ้า [15] 2. IEC 60204-1 – มาตรฐานความปลอดภัยของการเดินสายไฟในเครื่องจักร เป็นมาตรฐานระดับสากลที่ใช้เป็นแนวทางในการออกแบบ ติดตั้ง ทดสอบ และดูแลระบบ ไฟฟ้าในเครื่องจักร โดยมีจุดประสงค์หลักเพื่อความปลอดภัยของผู้ใช้งาน และลดความเสียหายที่อาจ เกิดกับตัวอุปกรณ์ โดยเฉพาะในกรณีของเครื่องจักรอัตโนมัติหรือระบบที่ควบคุมด้วยไฟฟ้า ซึ่งต้องให้ ความสำคัญกับความปลอดภัยและความน่าเชื่อถือของระบบ [16] 3. IEC 61508 – มาตรฐานความปลอดภัยเชิงฟังก์ชันของระบบควบคุมอัตโนมัติ มาตรฐานสากลที่ใช้กำหนดแนวทางด้าน ความปลอดภัยเชิงฟังก์ชัน (Functional Safety) สำหรับระบบควบคุมที่เกี่ยวข้องกับไฟฟ้า อิเล็กทรอนิกส์ และอุปกรณ์ที่ตั้งโปรแกรมได้ (E/E/PE Systems) โดยเน้นความปลอดภัยของผู้ใช้งานและลดความเสี่ยงจากความล้มเหลวของระบบควบคุม อัตโนมัติ เช่น เซนเซอร์ ตัวควบคุม (PLC/ Microprocessor) และตัวกระตุ้น (Actuator) [17] 29 3.4 การสร้างแนวคิดตัวกระตุ้น (Concept Generation: CMG vs Reaction Wheel) กำหนดแพลตฟอร์มเป็น รถจักรยานยนต์จำลอง (ขนาดเล็ก) ใช้แหล่งจ่าย 12 V DC และ เปรีย บเทีย บตัว กระตุ้ น สองชนิด Control Moment Gyroscope (CMG) และ Reaction Wheel (RW) ผ่านกรณีทดสอบรูปแบบ อินเวอร์สเพนดูลัมที่ติดอุปกรณ์ไว้ปลายก้าน โดยล็อกตัวแปรร่วม (มวล/ความยาวเพนดูลัม, ตำแหน่งติดตั้ง, มวลชุดตัวกระตุ้น, แหล่งจ่าย, มุมเริ่มต้น) ให้เท่ากันทั้งสอง กรณี จากนั้นใช้ แบบจำลองเชิงคณิตศาสตร์ และ Simscape เพื่อตรวจสอบและออกแบบตัวควบคุม 3.4.1 แบบจำลองแรงบิดเบื้องต้นที่ใช้เปรียบเทียบ (ก) Reaction Wheel (RW) ในระดับแรกให้พิจารณาความสัมพันธ์เชิงกลอย่างง่ายของล้อปฏิกิริยา 𝜏 = 𝐼𝜃̈ (3.1) โดยที่ 𝜏 คือ แรงบิด (Torque) ที่เกิดจากล้อหมุน มีหน่วยเป็นนิวตันเมตร [ 𝑁 ∙ 𝑚] 𝐼 คือ โมเมนต์ความเฉื่อยของล้อ มีหน่วยเป็นกิโลกรัมเมตรกําลังสอง [ 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2] 𝜃̈ คือ ความเร่งเชิงมุมของล้อหมุน มีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาทีกําลังสอง [𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 ] Control Moment Gyroscope (CMG) จานหมุนที่สปินด้วยความเร็วคงที่ Ω มีโมเมนตัมเชิงมุม เมื่อหมุนกิมบอลด้วยอัตรา 𝛽̇ จะเกิด แรงบิดไจโรสโคปิก โดยประมาณเป็น (ข) 𝜏 = 𝐼𝑓𝑧 𝛽̇ × 𝛺 × cos (𝛽) (3.2) โดยที่ 𝜏 คือ แรงบิด มีหน่วยเป็นนิวตันเมตร [ 𝑁 ∙ 𝑚 ] 𝛺 คือ ความเร็วของการหมุนจาน มีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาที [𝑟𝑎𝑑/𝑠2 ] 𝛽̇ คือ ความเร็วในการเอียงกิมบอล มีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาที [𝑟𝑎𝑑/𝑠2 ] 𝐼𝑓𝑧 คือ โมเมนต์ความเฉื่อยของจานหมุน มีหน่วยเป็นกิโลกรัมเมตรกําลังสอง [ 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2] 30 3.4.2 เงื่อนไขร่วมสำหรับการเปรียบเทียบ (Fairness Constraints) กำหนดให้ทั้งสองระบบใช้เงื่อนไขร่วมดังตารางที่ 3.1 ตารางที่ 3.1 พารามิเตอร์ของระบบใช้เงื่อนไขร่วม พารามิเตอร์ แหล่งจ่ายไฟ มุมเริ่มต้นเพนดูลัม มวลเพนดูลัม ระยะจากจุดหมุนถึงตำแหน่งที่ติดตั้งตัวกระตุ้น ระยะจากจุดหมุนถึงจุดศูนย์กลางมวล มวลชุดตัวกระตุ้น ความต้านทานขดลวดมอเตอร์ ค่าคงที่แรงบิดและค่าคงที่แรงดันป้อนกลับ ค่า/ช่วง 12 V DC −15° จากแนวดิ่ง 0.2166 kg 0.1 m 0.091 m 0.28524 kg 0.7 Ohm 8.828e-3 N*m/A หมายเหตุ คงที่ คงที่ เท่ากันทั้งสองกรณี เท่ากันทั้งสองกรณี เท่ากัน RW ≈ CMG เท่ากันทั้งสองกรณี เท่ากันทั้งสองกรณี 3.4.3 เกณฑ์ประเมินและตัวชี้วัด เพื่อคัดเลือกแนวคิดที่เหมาะสม ใช้ตัวชี้วัดดังต่อไปนี้ - ความสามารถสร้างแรงบิด: ค่า Torque Peak และโปรไฟล์แรงบิดระหว่างทรานเซียนต์ - สมรรถนะการทรงตัว: Percent Overshoot, Settling Time, RMS - ความพยายามควบคุม: ค่าสูงสุด/ค่าเฉลี่ยของ u(Volt) และ พลังงานโดยสังเขป E≈∫UI dt - ความซับซ้อนและความปลอดภัย: จำนวนชิ้นส่วนเคลื่อนที่/จุดเสี่ยง,งานประกอบ 3.4.4 ข้อคาดหมายเบื้องต้น (Engineering Insight) - ต้นแบบขนาดเล็ก : เพียงพอ ด้วยเหตุผลด้านต้นทุน ความง่ายและการบูรณาการที่รวดเร็ว - งานสำหรับอุตสาหกรรมยานยนต์จริง : CMG มีศักยภาพเหนือกว่า ในเชิงอัตราส่วนแรงบิด ต่อมวล/ปริมาตร เมื่อสปินความเร็วสูงและควบคุม มุมเอียงได้ดี โดยเฉพาะเมื่อข้อจำกัด พื้นที่และเสถียรภาพเชิงรบกวนมีความเข้มงวด 31 3.5 แบบจำลองเชิงคณิตศาสตร์ 3.5.1 กรอบสมมติฐาน & สถานะ/อินพุต/เอาต์พุต • สมมติฐานทั่วไป - องค์ประกอบเป็นแข็งเกร็ง, จุดศูนย์มวลและโมเมนต์ความเฉื่อยทราบจาก CAD/วัดจริง - แรงโน้มถ่วง g =9.81 m/s^2 - เสียดทานเชิงหนืดรวม (รวมแบริ่ง/กิมบอล/ล้อ): ใช้พจน์หนืดเชิงเส้น ( B𝑚 = 𝐾𝑇𝜔∙ 𝑖 ) - ใช้มุมเล็กเพื่อลิเนียไรซ์รอบตั้งตรง ( θ ≈ 0) และในส่วนโมเดลไม่เชิงเส้น จะคงพจน์เต็มก่อน ลิเนียไรซ์ - ใช้แหล่งจ่าย 12 V (กำหนดลิมิต ∣u∣≤12V เมื่อออกแบบตัวควบคุม) • กรณี Reaction Wheel (RW) 𝑇 - สถานะ : x𝑟𝑤 = [𝜃 𝜃̇ ∅ ∅̇] โดย 𝜃 = มุมเอียงของก้านเพนดูลัม (เทียบแนวดิ่ง), ∅ = มุมล้อปฏิกิริยา - อินพุต : 𝑢𝑟𝑤 = 𝑉𝑟𝑤 (แรงดันมอเตอร์ที่ขับล้อ Reaction Wheel) - เอาต์พุตหลัก : y = 𝜃 • กรณี Control Moment Gyroscope (CMG) 𝑇 - สถานะ : x𝑐𝑚𝑔 = [𝜃 𝜃̇ 𝛾 𝛾̇ ] โดย 𝛾 = มุมกิมบอล (เทียบแนวดิ่ง) - อินพุต : 𝑢𝑐𝑚𝑔 = 𝑉𝑔 (แรงดันมอเตอร์แกนกิมบอล) - เอาต์พุตหลัก : y = 𝜃 ในหัวข้อ 3.5.2 Reaction Wheel และ 3.5.3 Control Moment Gyroscope (CMG) ถัดไป เราจะจัดรูป Nonlinear model → Linearization ให้เห็นขั้นตอนชัด และสรุปเป็น State space model สำหรับใช้ LQR 32 3.5.2 Reaction Wheel (RW) 3.5.2.1 นิยามพิกัดและพารามิเตอร์ กำหนดพิกัดสำหรับกรณี Reaction Wheel โดยให้ 𝜃 เป็นมุมเอียงก้านเทียบแนวดิ่ง และ 𝜙 เป็นมุมล้อ Reaction Wheel เทียบก้าน ทั้งนี้ความเร็วเชิงมุมสัมบูรณ์ของล้อคือ 𝜃̇ + 𝜙̇ (อ้างถึงใน พจน์พลังงานจลน์) ดังรูปที่ 3.1 โดยพารามิเตอร์เชิงกลที่ใช้ใน Reaction Wheel จะกำหนดดังตาราง ที่ 3.2 รูปที่ 3.1 กรอบพิกัดและตัวแปรสำหรับกรณี Reaction Wheel (RW) ตารางที่ 3.2 พารามิเตอร์เชิงกลที่ใช้ พารามิเตอร์ 𝑚1 , 𝐿1 , 𝐼1 𝑚2 , 𝐿2 , 𝐼2 𝑔 𝐽𝑝 ≜ 𝐼1 + 𝑚1 𝐿21 + 𝑚2 𝐿22 𝐽𝑤 ≜ 𝐼2 𝑔ℓ ≜ (𝑚1 𝐿1 + 𝑚2 𝐿2 ) 𝑔 หมายเหตุ มวล,ระยะ c.g.จากจุดหมุน,โมเมนต์เฉื่อยของ เพนดูลัม/ตัวรถ มวล,ระยะ c.g จากจุดหมุน,โมเมนต์เฉื่อยของ ล้อ RW (รอบแกนสปิน) ความเร่งโน้มถ่วง นิยามย่อ นิยามย่อ นิยามย่อ 33 3.5.2.2 สร้างลากรังเจียน (Lagrangian) ในส่ว นนี้เป็นการสร้างสมการลากรังเจียนของระบบ โดยพิจารณาพลังงานจลน์ (Kinetic Energy) และพลังงานศักย์ (Potential Energy) ของวัตถุแต่ละส่วน เพื่อใช้หาสมการการเคลื่อนที่ ของระบบผ่านหลักการของสมการลากรังจ์ ซึ่งเป็นพื้นฐานในการวิเคราะห์พลวัตและออกแบบตัว ควบคุมในขั้นตอนต่อไป ซึ่งสามารถสร้างสมการได้ดังนี้ • พลังงานจลน์รวม KE = 1 1 1 1 𝐽𝑝 𝜃̇ 2 + 𝐽𝑤 (𝜃̇ + 𝜙̇)2 = (𝐽𝑝 + 𝐽𝑤 )𝜃̇ 2 + 𝐽𝑤 𝜃̇ 𝜙̇ + 𝐽𝑤 𝜙̇ 2 2 2 2 2 (3.3) • พลังงานศักย์รวม PE = (𝑚1 𝐿1 + 𝑚2 𝐿2 ) 𝑔 cos 𝜃 = 𝑔ℓ cos 𝜃 (3.4) โดยที่ลากรังเจียนจะสามารถเขียนได้ดังสมการที่ 3.5 ℒ(𝜃, 𝜙, 𝜃̇, 𝜙̇) = KE − PE (3.5) 3.5.2.3 สมการการเคลื่อนที่ (Nonlinear EoM; Euler–Lagrange) ในการหาสมการการเคลื่ อนที่ข องระบบ สามารถใช้ห ลักการของ ลากรังจ์ (Lagrange’s Equation of Motion) ซึ่ ง เป็ น วิ ธี มาตรฐานในการวิ เ คราะห์ ระบบเชิ ง กลที่ ซั บ ซ้ อ น โดยอาศั ย ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานจลน์ (Kinetic Energy) และพลังงานศักย์ (Potential Energy) ของ ระบบ เพื่อให้ได้สมการที่อธิบายพลวัตของการเคลื่อนที่อย่างครบถ้วน โดยสมการทั่วไปของลากรังจ์ สามารถเขียนได้ดังนี้ 𝑑 ∂ℒ ∂ℒ ( )− = 𝜏𝑖 , (𝑞1 = 𝜃, 𝑞2 = ∅) 𝑑𝑡 ∂𝑞̇ 𝑖 ∂𝑞𝑖 (3.6) โดยใช้หลักการของสมการลากรังจ์และเพิ่มผลของแรงต้านการเคลื่อนที่เชิงเส้น (Linear Damping) เข้ามา เพื่อให้สมการสะท้อนพฤติกรรมของระบบจริงมากยิ่งขึ้น โดยสมมติให้ค่าความหนืดเชิงมุม เริ่มต้นของแกนทั้งสองเป็นศูนย์ (𝐵𝜃 = 𝐵𝜙 = 0) และพิจารณาแรงบิดที่เกิดจากมอเตอร์เฉพาะใน แกนล้ อ (Reaction Wheel) ซึ่ ง แรงบิ ด นี้ จะทำหน้า ที่ เ ป็น แรงขั บ ควบคุ ม ของระบบ กำหนดให้ 𝜏𝜃 = 0 และ 𝜏𝜙 = +𝜏𝑚 ดังนั้นจะได้สมการการเคลื่อนที่ในรูปแบบไม่เชิงเส้นดังนี้ (𝐽𝑝 + 𝐽𝑤 ) 𝜃̈ + 𝐽𝑤 𝜙̈ − 𝑔ℓ sin𝜃 + 𝐵𝜃 𝜃̇ = 0 (3.7) 𝐽𝑤 (𝜃̈ + 𝜙̈) + 𝐵𝜙 𝜙̇ = 𝜏𝑚 (3.8) 34 3.5.2.4 การลิเนียร์ไรซ์รอบจุดสมดุล (Small-angle Linearization) เพื่อให้การวิเคราะห์และการคำนวณทางพลวัตของระบบทำได้สะดวกและง่ายต่อการนำไป ออกแบบตัวควบคุม จึงทำการลิเนียร์ไรซ์สมการรอบจุดสมดุล (Equilibrium Point) ที่มุมเอียงมีค่า ขนาดเล็กมาก โดยถือว่า 𝜃 ≈ 0 ทำให้สามารถประมาณค่าได้ว่า 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ≈ 𝜃 และ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ≈ 1 จากนั้นจะได้สมการเชิงเส้นของระบบในรูปดังนี้ (3.9) (𝐽𝑝 + 𝐽𝑤 ) 𝜃̈ + 𝐽𝑤 𝜙̈ − 𝑔ℓ 𝜃 + 𝐵𝜃 𝜃̇ = 0 (3.10) 𝐽𝑤 (𝜃̈ + 𝜙̈) + 𝐵𝜙 𝜙̇ = 𝜏𝑚 ซึง่ เขียนในรูปเมทริกซ์มวล–แดมป์–สปริง (เพื่อสะดวกต่อการจัดรูปภายหลัง) ได้ดังนี้ [ 𝐽𝑝 + 𝐽𝑤 𝐽𝑊 𝐽𝑊 𝜃̈ 𝐵 ][ ̈] + [ 𝜃 0 𝐽𝑊 ∅ 0 𝜃̇ −𝑔𝑙 ][ ̇] + [ 𝐵∅ ∅ 0 0 0 𝜃 ][ ] = [ ] 𝜏𝑚 0 ∅ (3.11) สามารถจัดรูปให้เห็นสัมประสิทธิ์ชัดได้ดังนี้ 𝜃̈ = 𝑔ℓ 𝜏𝑚 𝜃− 𝐽𝑝 𝐽𝑝 (3.12) ̇ (3.13) 𝜏𝑚 −𝐵𝜙 𝜙 𝜙̈ = − 𝜃̈ 𝐽𝑤 3.5.2.5 ผนวกระบบมอเตอร์ DC (+ เกียร์) ในส่วนนี้พิจารณาระบบมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (DC Motor) ซึ่งเป็นแหล่งสร้างแรงบิดหลัก ของตัว กระตุ้น (Actuator) ไม่ว่าจะเป็น Reaction Wheel หรือ Control Moment Gyroscope โดยในขั้นแรกจะละอิมพีแดนซ์ ของขดลวดเหนี่ยวนำภายใน (Armature Inductance) เพื่อให้สมการ ไฟฟ้าอยู่ในรูปแบบเชิงเส้นและง่ายต่อการวิเคราะห์ โดยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันขาเข้า 𝑢 กระแสไฟฟ้า 𝑖 และความเร็วเชิงมุมของโรเตอร์ 𝜔𝑚 ดังแสดงในสมการ (3.14) 𝑖= 𝑢 − 𝐾𝑒 𝜔𝑚 , 𝜏𝑚 = 𝐾𝑡 𝑖 𝑅𝑚 (3.14) โดย 𝜔𝑚 = ความเร็วมอเตอร์เทียบสเตเตอร์ (ติดก้าน) - กรณี ตรงแกน (ไม่มีเกียร์ 𝑁𝑔 = 1) และ 𝜔𝑚 = 𝜙̇ ̇ - กรณีมีเกียร์ (Motor : wheel = 𝑁𝑔 ) 𝜔𝑚 = 𝑁𝑔 𝜙̇ และ 𝜏𝑚 ≈ 𝐾𝑡 𝑢−𝐾𝑅𝑏𝑚𝑁𝑔𝜙 35 ซึง่ สามารถรวมผล Back-EMF เป็น แดมป์ไฟฟ้าเชิงเส้น ที่แกน 𝜙 ได้ดังนี้ 𝜏𝑚 = 𝐾𝑡 𝐾𝑡 𝐾𝑏 𝑢 − 𝜙̇ (สำหรับ 𝑁𝑔 = 1) 𝑅𝑚 𝑅𝑚 (3.15) Note ถ้ามีเกียร์ ให้แทน 𝐾𝑡 → 𝑁𝑔 𝐾𝑡 และ 𝐾𝑏 → 𝑁𝑔 𝐾𝑏 เมื่อได้สมการแรงบิดของมอเตอร์ในรูปเชิงเส้นแล้ว ( 𝜏𝑚 ) สามารถนำไปแทนในสมการลิเนียร์ไรซ์ (สมการ 3.9 และ 3.10) เพื่อให้ได้สมการของระบบเชิงเส้นที่อยู่ในรูปของตัวแปร 𝜃 และ 𝜙 ซึ่งอธิบาย พฤติกรรมเชิงมุมของเพนดูลัมและล้อปฏิกิริยาได้อย่างครบถ้วน ผลลัพธ์นี้จะถูกจัดให้อยู่ในรูปสมการ สถานะในหัวข้อถัดไป เพื่อใช้ในการออกแบบตัวควบคุม LQR ต่อไป 3.5.2.6 จัดรูปสมการสถานะ (State–Space) 𝑇 กำหนด x𝑟𝑤 = [𝜃 𝜃̇ ∅ ∅̇] , 𝑢 = 𝑉motor และ 𝑦 = 𝜃 ไดนามิกของระบบในรูปการแทนเชิง สถานะ (State-space representation) สามารถเขียนได้ดังนี้ 0 โดยที่ 𝐴= 1 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (3.16) 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 (3.17) 0 𝑔ℓ 𝐽𝑝 − 𝜃 𝐵 𝐽𝑝 0 0 0 0 𝐵𝜃 𝐽𝑝 0 𝑔ℓ − [ 𝐽𝑝 − 0 𝐾 𝐾𝑡 𝑁2 𝑔 𝐵𝜙 + 𝑏 𝑅𝑚 (3.18) 𝐽𝑝 1 𝐽 +𝐽𝑤 − 𝑝 𝐽𝑝 𝐽𝑤 (𝐵𝜙 + 𝐾𝑏 𝐾𝑡 𝑁𝑔2 𝑅𝑚 ) ] 0 𝐾𝑡 𝑁𝑔 𝐵 = −𝑅 𝐽 𝑚 𝑝 0 (3.19) 𝐽𝑝 +𝐽𝑤 𝐾𝑡 𝑁𝑔 [ 𝐽𝑝 𝐽𝑤 𝑅𝑚 ] 𝐶 = [1 0 0 0] (3.20) 𝐷 = [0] (3.21) จากสมการข้างต้น จะเห็นได้ว่ารูปแบบสมการสถานะ (State–Space Representation) ที่ได้ สามารถนำไปใช้ในการวิเคราะห์พลวัตของระบบและการออกแบบตัวควบคุมได้โดยตรง โดยเมทริกซ์ 𝐴 แสดงถึงความสัมพัน ธ์ภายในของสถานะ ( 𝜃, 𝜃̇, ∅, ∅̇) ส่ว นเมทริกซ์ 𝐵 แทนการส่งอิทธิพลของ สัญญาณควบคุม 𝑢 ต่อการเปลี่ย นแปลงของสถานะ ขณะที่เมทริกซ์ 𝐶 และ 𝐷 ใช้ในการนิยาม เอาต์พุตของระบบ ซึ่งในกรณีนี้เลือกให้เอาต์พุต 𝑦 คือมุมเอียงของเพนดูลัม 𝜃 เพื่อใช้เป็นตัวแปรหลัก ในการควบคุมการทรงตัว 36 3.5.3 Control Moment Gyroscope (CMG) 3.5.3.1 นิยามพิกัดและพารามิเตอร์ กำหนดพิกัดสำหรับกรณี Control Moment Gyroscope โดยให้ 𝜃 เป็นมุมเอียงก้านเทียบ แนวดิ่ง และ 𝛾 คือมุมกิมบอล , จุดมวล 𝑚𝑏 , 𝑚𝑓 และระยะ ℎ𝑏 , ℎ𝑓 จากจุดหมุน ดังรูปที่ 3.2 โดย พารามิเตอร์เชิงกลที่ใช้ใน Control Moment Gyroscope จะกำหนดดังตารางที่ 3.3 รูปที่ 3.2 กรอบพารามิเตอร์ของ CMG สำหรับแบบจำลอง ตารางที่ 3.3 พารามิเตอร์เชิงกลที่ใช้ พารามิเตอร์ 𝑚𝑏 , ℎ𝑏 , 𝐼𝑏 𝑚𝑓 , ℎ𝑓 𝑔 𝐼𝑝 𝐼𝑟 𝜔 𝐽𝜃 ≜ 𝐼𝑏 + 𝐼𝑟 + 𝑚𝑏 ℎ𝑏2 + 𝑚𝑓 ℎ𝑓2 𝐺𝜃 ≜ (𝑚𝑏 ℎ𝑏 + 𝑚𝑓 ℎ𝑓 ) 𝑔 หมายเหตุ มวล,ระยะ c.g.จากจุดหมุน, โมเมนต์เฉื่อยของเพนดูลัม/ตัวรถ มวล,ระยะ c.g ของเฟรมจาน ความเร่งโน้มถ่วง โมเมนต์จานตามแกนสปิน (spin) โมเมนต์ตามแกนกิมบอล (gimbal) ความเร็วสปินคงที่ของจาน นิยามย่อ นิยามย่อ 37 3.5.3.2 สร้างลากรังเจียน (Lagrangian) ในส่ว นนี้เป็นการสร้างสมการลากรังเจียนของระบบ โดยพิจารณาพลังงานจลน์ (Kinetic Energy) และพลังงานศักย์ (Potential Energy) ของวัตถุแต่ละส่วน เพื่อใช้หาสมการการเคลื่อนที่ ของระบบผ่านหลักการของสมการลากรังจ์ ซึ่งเป็นพื้นฐานในการวิเคราะห์พลวัตและออกแบบตัว ควบคุมในขั้นตอนต่อไป ซึ่งสามารถสร้างสมการได้ดังนี้ • พลังงานจลน์รวม KE = 1 1 1 1 1 𝑚𝑏 𝑉𝑏2 + 𝑚𝑓 𝑉𝑓2 + 𝐼𝑏 𝜃̇ 2 + 𝐼𝑝 𝛾̇ 2 + 𝐼𝑟 (𝜔 + 𝜃̇ cos 𝛾)2 2 2 2 2 2 (3.22) • พลังงานศักย์รวม PE = (𝑚𝑏 ℎ𝑏 + 𝑚𝑓 ℎ𝑓 )𝑔 cos 𝜃 (3.23) โดยที่ลากรังเจียนจะสามารถเขียนได้ดังสมการที่ 3.24 (𝜃, 𝛾, 𝜃̇, 𝛾̇ ) = 𝐾𝐸 − 𝑃𝐸 (3.24) 3.5.3.3 สมการการเคลื่อนที่ (Nonlinear EoM; Euler–Lagrange) ในการหาสมการการเคลื่ อนที่ข องระบบ สามารถใช้ห ลักการของ ลากรังจ์ (Lagrange’s Equation of Motion) ซึ่ ง เป็ น วิ ธี มาตรฐานในการวิ เ คราะห์ ระบบเชิ ง กลที่ ซั บ ซ้ อ น โดยอาศั ย ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานจลน์ (Kinetic Energy) และพลังงานศักย์ (Potential Energy) ของ ระบบ เพื่อให้ได้สมการที่อธิบายพลวัตของการเคลื่อนที่อย่างครบถ้วน โดยสมการทั่วไปของลากรังจ์ สามารถเขียนได้ดังนี้ 𝑑 ∂ℒ ∂ℒ ( )− = 𝜏𝑖 , (𝑞1 = 𝜃, 𝑞2 = 𝛾) 𝑑𝑡 ∂𝑞̇ 𝑖 ∂𝑞𝑖 (3.25) • แรงไจโรสโคปิก (จากโมเมนตัมจาน ℎ = 𝐼𝑝 𝜔) (𝑔𝑦𝑟𝑜) 𝑄𝜃 (𝑔𝑦𝑟𝑜) = + 𝐼𝑝 𝜔 𝑐𝑜 𝑠 𝛾 𝛾̇ , 𝑄𝛾 = − 𝐼𝑝 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝛾 𝜃̇ (3.26) • แรงไฟฟ้าที่แกนกิมบอล (มอเตอร์ DC; ละ 𝐿𝑚 ในเฟสแรก) (𝑒𝑙𝑒𝑐) 𝑄𝛾 = 𝐾𝑡 𝐾𝑏 𝐾𝑡 (𝑒𝑙𝑒𝑐) 𝑢− 𝛾 ̇ , 𝑄𝜃 =0 𝑅𝑚 𝑅𝑚 (3.27) 38 เมื่อรวม 𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(gyro) + 𝑄𝑖(elec) (ตั้งต้นไม่ใส่แดมป์กล 𝐵𝜃 = 0) แล้วจะสามารถเขียนสมการไม่ เชิงเส้นได้ดังนี้ 𝐽𝜃 𝜃̈ − 𝐺𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝐼𝑝 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝛾 𝛾̇ = 0 𝐼𝑟 𝛾̈ + 𝐾𝑏 𝐾𝑡 𝐾𝑡 𝛾̇ − 𝐼𝑝 𝜔 cos 𝛾 𝜃̇ = 𝑢 𝑅𝑚 𝑅𝑚 (3.28) (3.29) 3.5.3.4 การลิเนียร์ไรซ์รอบจุดสมดุล (Small-angle Linearization) เพื่อให้การวิเคราะห์และการคำนวณทางพลวัตของระบบทำได้สะดวกและง่ายต่อการนำไป ออกแบบตัวควบคุม จึงทำการลิเนียร์ไรซ์สมการรอบจุดสมดุล (Equilibrium Point) ที่มุมเอียงมีค่า ขนาดเล็กมาก โดยถือว่า 𝜃 ≈ 0 ทำให้สามารถประมาณค่าได้ว่า 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ≈ 𝜃 และ 𝑐𝑜𝑠 γ ≈ 1 จากนั้นจะได้สมการเชิงเส้นของระบบในรูปดังนี้ 𝐽𝜃 𝜃̈ − 𝐺𝜃 𝜃 + 𝐼𝑝 𝜔 𝛾̇ = 0 𝐼𝑟 𝛾̈ + 𝐾𝑏 𝐾𝑡 𝐾𝑡 𝛾̇ − 𝐼𝑝 𝜔 𝜃̇ = 𝑢 𝑅𝑚 𝑅𝑚 (3.30) (3.31) สามารถจัดรูปให้เห็นสัมประสิทธิ์ชัดได้ดังนี้ 𝜃̈ = 𝛾̈ = − 𝐼𝑝 𝜔 𝐺𝜃 𝜃+ 𝛾̇ 𝐽𝜃 𝐽𝜃 (3.32) 𝐼𝑝 𝜔 𝐾𝑏 𝐾𝑡 𝐾𝑡 𝜃̇ − 𝛾̇ + 𝑢 𝐼𝑟 𝑅𝑚 𝐼𝑟 𝑅𝑚 𝐼𝑟 จากการประมาณมุมเอียงให้มีค่าขนาดเล็ก ( sin 𝜃 ≈ 𝜃, cos 𝜃 ≈ 1) จะได้สมการเชิงเส้น ของระบบในรูปที่เข้าใจง่ายและเหมาะสำหรับการวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบเพนดูลัมร่ว มกับ CMG โดยสมการที่ได้ในรูปนี้สามารถใช้ในการจัดรูปเข้าสู่สมการสถานะ (State–Space Form) เพื่อ ออกแบบตัวควบคุมในขั้นตอนถัดไปได้อย่างสะดวก ทั้งยังเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการเปรียบเทียบ พฤติกรรมของระบบเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นภายหลัง 39 3.5.3.5 จัดรูปสมการสถานะ (State–Space) 𝑇 กำหนด x𝑐𝑚𝑔 = [𝜃 𝜃̇ 𝛾 𝛾̇ ] , 𝑢𝑐𝑚𝑔 = 𝑉𝑔 และ 𝑦 = 𝜃 ไดนามิกของระบบในรูปการแทน เชิงสถานะ (state-space representation) สามารถเขียนได้ดังนี้ 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (3.33) 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 (3.34) 0 (𝑚𝑏 ℎ𝑏 +𝑚𝑓 ℎ𝑓 ) 2 2 โดยที่ 𝐴 = (𝑚𝑏ℎ𝑏+𝑚0𝑓ℎ𝑓+𝐼𝑏+𝐼𝑟) 0 [ 𝐵 = 0 0 0 1 0 0 0 0 𝐼𝑝 −𝐼 0 0 𝑟 0 𝐼𝑝 𝜔 (𝑚𝑏 ℎ𝑏2 +𝑚𝑓 ℎ𝑓2 +𝐼𝑏 +𝐼𝑟 ) (3.35) 1 𝑘 +𝑘 − 𝑇𝐼 𝑅 𝑏 𝑟 ] (3.36) 𝑘𝑇 [𝐼𝑟 𝑅] 𝐶 = [1 0 0 0] (3.37) 𝐷 = [0] (3.38) จากสมการข้า งต้ น จะเห็ น ได้ ว่า รู ป แบบสมการสถานะ (State–Space Representation) ที่ ไ ด้ สามารถนำไปใช้ในการวิเคราะห์พลวัตของระบบและการออกแบบตัวควบคุมได้โดยตรง โดยเมทริกซ์ 𝐴 แสดงถึงความสัมพัน ธ์ภายในของสถานะ ( 𝜃, 𝜃̇, 𝛾, 𝛾̇ ) ส่ว นเมทริกซ์ 𝐵 แทนการส่งอิทธิ พ ลของ สัญญาณควบคุม 𝑢𝑐𝑚𝑔 ต่อการเปลี่ยนแปลงของสถานะ ขณะที่เมทริกซ์ 𝐶 และ 𝐷 ใช้ในการนิยาม เอาต์พุตของระบบ ซึ่งในกรณีนี้เลือกให้เอาต์พุต 𝑦 คือมุมเอียงของเพนดูลัม 𝜃 เพื่อใช้เป็นตัวแปรหลัก ในการควบคุมการทรงตัว การจัดรูปในลักษณะนี้ช่วยให้สามารถนำระบบเข้าสู่กระบวนการออกแบบตัวควบคุ มเชิ ง สมัยใหม่ เช่น LQR ได้อย่างสะดวก และสามารถเปรียบเทียบผลลัพธ์กับแบบจำลองจากซอฟต์แวร์ Simscape ได้โดยตรงในขั้นตอนการจำลองในหัวข้อถัดไป 40 3.6 โมเดลเรขาคณิตและ Multibody (CAD → Simscape) ในหัว ข้อนี้เป็น การสร้า งและเชื่ อ มโยงแบบจำลองเชิ ง กล (Multibody System) ระหว่า ง ซอฟต์แวร์ SolidWorks และ Simscape Multibody เพื่อใช้ในการจำลองการเคลื่อนที่ของระบบ จริง โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อให้แบบจำลองทางกายภาพที่สร้างจาก CAD สามารถสะท้อนพฤติกรรม ทางพลวัตได้อย่างถูกต้องสอดคล้องกับสมการทางคณิตศาสตร์ที่ได้จากหัวข้อ 3.5 3.6.1 การเตรียมชิ้นส่วนใน CAD (SolidWorks) วัตถุประสงค์คือการเตรียมการประกอบชิ้นส่วนต่างๆเข้าด้วยกัน ที่สอดคล้องกับแบบจำลอง ทางคณิตศาสตร์ในหัวข้อ 3.5 โดยเฉพาะในด้านขององศาอิสระ (Degrees of Freedom - DOF), ทิศทางของแกน (Axis directions) และ คุณสมบัติมวล-โมเมนต์ความเฉื่อย (Mass-moment of inertia properties) เพื่อให้พร้อมสำหรับการส่งออกใช้งานในโปรแกรม Simscape ได้อย่างถูกต้อง • ชิ้นส่วนหลัก 1. ฐาน/เฟรมรองรับจุดหมุน 2. ก้านเพนดูลัม (ตัวรถจำลอง) 3. ชุดตัวกระตุ้น : RW ล้อปฏิกิริยา และ CMG: เฟรมกิมบอล + ล้อตุนแรง • นิยาม DOF และทิศบวก - มุมเอียงก้าน : θ = การหมุนของก้านในระนาบ X–Y (แกนหมุน +Z) - มุมล้อ RW : ϕ = การหมุนของล้อ “โคแอกเซียลกับ θ” (แกนเดียวกัน) - มุมกิมบอล CMG : γ = การหมุนของเฟรมกิมบอล (แกนตั้งฉากกับแกนสปินของจาน) • Mass Properties (หน่วย SI) - ตั้งวัสดุ/ความหนาแน่นให้สมจริง แล้วใช้ Evaluate → Mass Properties เพื่ออ่านมวล 𝑚, ตำแหน่ง CoM, โมเมนต์เฉื่อยรอบ CoM (𝐼𝑥𝑥 , 𝐼𝑦𝑦 , 𝐼𝑧𝑧 ) - วัดระยะจากจุดหมุนถึง CoM: o เพนดูลัม → 𝐿1 (หรือ ℎ𝑏 สำหรับ CMG) o ชุดตัวกระตุ้น → 𝐿2 (หรือ ℎ𝑓 สำหรับ CMG) 41 เฟรมกิมบอล ก้านเพนดูลัม ล้อตุนกำลัง γ ฐาน/เฟรมรองรับจุดหมุน θ รูปที่ 3.3 Control Moment Gyroscope Assembly ϕ ก้านเพนดูลัม วงล้อปฏิกิริยา ฐาน/เฟรมรองรับจุดหมุน θ รูปที่ 3.4 Reaction Wheel Assembly 42 3.6.2 การส่งออกจาก CAD และนำเข้า Simscape (Export → Import) (ก) ส่งออกจาก SolidWorks (Simscape Multibody Link) - เปิดAdd-in Simscape Multibody Link→Tools→Simscape Multibody→Export - บันทึกเป็นไฟล์แยก: CMG_assembly.xml, RW_assembly.xml (ข) นำเข้าใน MATLAB/Simulink - ใช้คำสั่ง smimport('CMG_assembly.xml') หรือ smimport('RW_assembly.xml') - ตรวจสอบโครงสร้าง Multibody และชนิดจอยน์ว่าเป็น Revolute ตรงตาม DOF (ค) การแม็พสัญญาณกับตัวแปรในสมการ - ใส่ Joint Sensor ที่จอยน์ฐาน (θ) และที่จอยน์ล้อ/กิมบอล (ϕ หรือ γ) - อ่านสัญญาณ : 𝜃, 𝜃̇, 𝜙/𝛾, 𝜙̇/𝛾̇ → ต่อออก Scope/บล็อกควบคุม - ใส่ Ideal Torque Source ที่จอยน์ ϕ/γ เพื่อรับอินพุตแรงบิดจากตัวควบคุม (ในภายหลัง จะเปลี่ยนเป็นมอเตอร์จริงได้) (ง) เช็กรวดเร็วหลังนำเข้า - Run simulation สั้น ๆ และอินพุตเป็นศูนย์ → ก้านควร “ล้ม” แสดงว่าแรงโน้มถ่วง ทำงานถูกทิศ เมื่อทำการตั้งค่าระบบครบถ้วนและเชื่อมโยงสัญญาณทั้งหมดเรียบร้อยแล้ว จะได้แบบจำลอง เชิงกล (Multibody Model) ที่สามารถทำงานร่ว มกับบล็อกของ Simscape ได้โ ดยสมบูรณ์ ซึ่ง สามารถจำลองพฤติกรรมทางพลวัตของระบบจริงได้อย่างถูกต้อง ทั้งในส่วนของการเคลื่อนที่ของเพน ดูลัม การหมุนของล้อปฏิกิริยา (Reaction Wheel) หรือกิมบอลของ CMG ตลอดจนการตอบสนอง ของแรงบิดและแรงดันควบคุม แบบจำลองนี้จึงถือเป็นจุดเชื่อมต่อสำคัญระหว่างการออกแบบเชิงกลใน SolidWorks และการ วิเคราะห์เชิงพลวัตใน Simscape ซึ่งจะถูกนำไปใช้ในการจำลองการทำงานจริงของระบบในหัวข้อ ถัดไป โดยรูปที่ 3.5 และรูปที่ 3.6 แสดงโครงสร้างของแบบจำลอง Multibody สำหรับ Reaction Wheel และ Control Moment Gyroscope ตามลำดับ 43 รูปที่ 3.5 โครงสร้าง Multibody ของ Reaction Wheel (Simscape) 44 รูปที่ 3.6 โครงสร้าง Multibody ของ Control Moment Gyroscope (Simscape) 45 3.6.3 การตรวจสอบมวล–โมเมนต์ความเฉื่อย วัตถุประสงค์หลักของการตรวจสอบนี้คือเพื่อยืนยันว่าคุณสมบัติทางกายภาพของชิ้นส่วนใน Simscape, ได้แก่ มวล (m), จุดศูนย์กลางมวล (CoM) และ โมเมนต์ความเฉื่อย (I) นั้นตรงกับค่าที่ กำหนดไว้ในโปรแกรม CAD การตรวจสอบนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการทำให้ผลลัพธ์ของการจำลอง (Simulation) และการทำให้เป็นเชิงเส้น (Linearization) มีความน่าเชื่อถือและแม่นยำ ขั้นตอนตรวจสอบ 1. อ่านค่าจาก CAD (อ้างอิง) : ใน SolidWorks ใช้ Evaluate → Mass Properties เก็บค่า m, CoM, 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 , 𝐼𝑧 (หน่วย SI) 2. อ่า นค่า จาก Simscape : ดั บ เบิ ล คลิ ก บล็ อ ก Solid ที่ ส ร้า งจาก smimport → แท็ บ Inertia ตรวจ m, CoM, 𝐼 (หรือใช้ Mechanics Explorer → เลือก Body → Properties) 3. ทิศแกนหลัก: ตรวจว่าแกนหลักของอินเนอร์เชียใน Simscape สอดคล้องกับ CAD (กรณี CMG ให้แน่ใจว่าแกนสปินของจานตรงกับแกนที่กำหนด 𝐼𝑝 ) 4. หน่วย/สเกล: ยืนยันอีกครั้งว่าเป็น m, kg, N·m, s ทั้งหมด 5. เกณฑ์ ย อมรั บ (Tolerance): ความคลาดเคลื่ อ น ≤ 1–5% (ในความเป็ น จริ ง ไม่ ค วร คลาดเคลื่อน เนื่องจากค่าที่ปรากฏใน Simscape ตะเป็นค่าที่ถูกดึงมาจากไฟล์ Step ที่มาจาก SolidWorks โดยตรง 6. บันทึกผล ซึ่งผลที่ได้ดังตารางที่ 3.4 ตารางที่ 3.4 การตรวจสอบมวล–โมเมนต์ความเฉื่อย m [kg] CAD 0.2166 ก้านเพนดูลมั Simscape 0.2166 CAD 0.28529 CMG Simscape 0.28529 CAD 0.28524 RW Simscape 0.28524 ชิ้นส่วน Source CoM (x,y,z) I_xx I_yy I_zz ผ่าน [mm] [kg·mm²] [kg·mm²] [kg·mm²] /ไม่ผ่าน [0,91,0] 138.1 28.723 109.88 ผ่าน [0,91,0] 138.1 28.723 109.88 ผ่าน [0,0,8.9515] 74.46 81.03 144.96 ผ่าน [0,0,8.9515] 74.46 81.03 144.96 ผ่าน [0,0,3.1578] 352.43 352.43 702.85 ผ่าน [0,0,3.1578] 352.43 352.43 702.85 ผ่าน 46 3.6.4 การแม็พกรอบแกนกับตัวแปรสถานะและสัญญาณ (Mapping) • การตั้งค่าใน Simscape - ใส่ Joint Sensor ที่ Joint ฐาน (θ) และ Joint แอคชูเอเตอร์ ( ϕ/γ) แล้วเลือกให้ออกทั้ง “Angle” และ “Angular velocity” • การป้อนอินพุตให้สอดคล้องกับสมการ (แรงดัน → แรงบิด) - ในงานนี้ 𝑢 คือ “แรงดันมอเตอร์” (V) แต่ Torque Source ใน Simscape รับหน่วย N·m จึงใส่บล็อกแปลง - ตัง้ Saturation ที่อินพุตแรงดัน (เช่น ∣ 𝑢 ∣≤ 12 Volt) เพื่อสะท้อนลิมิตแหล่งจ่าย รูปที่ 3.7 การใส่ Block เพื่อแปลงแรงดันกลายเป็นแรงบิด 3.6.5 การเตรียมลิเนียร์ไรซ์และจุดปฏิบัติการ • ตัง้ Linearization I/O จุดอินพุต–เอาต์พุตสำหรับการลิเนียร์ไรซ์ - Input = สัญญาณแรงดัน u (จุดก่อนแปลงเป็นแรงบิด) - Output = มุม θ (สัญญาณ theta จาก Joint Sensor) ความสอดคล้องที่คาดหวัง คือ State space ที่ได้จาก Lineariztion ในโปรแกรม Simulink Simscape ของ Reaction Wheel และ Control Moment Gyroscope ควรตรงกันกับ แบบจำลอง เชิงคณิตศาสตร์ 47 3.7 การตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลอง (Model Validation) เพื่อยืนยันว่าแบบจำลองเชิงคณิต (หัวข้อ 3.5) และแบบจำลองจาก CAD (หัวข้อ 3.6) ให้ พฤติกรรมสอดคล้องกันภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน ก่อนนำไปออกแบบควบคุม (หัวข้อ 3.8) โดยมีกรอบ การตรวจสอบดังนี้ - เคส L : Linear State-Space จากสมการจากการ Derive - เคส S : Simscape (นำเข้าจาก CAD) Model Linearizer 3.7.1 Reaction Wheel ตารางที่ 3.5 การตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลองของ Reaction Wheel Linear State-Space ( From MATLAB) Simscape Model Linearizer จากการเทียบแบบจำลองเชิงคณิตที่ได้จาก MATLAB กับผลลิเนียร์ไรซ์ของโมเดล Simscape พบว่าโครงสร้างเมทริกซ์และสัญญาณอยู่ในทิศทางเดียวกันทุกพจน์สำคัญ ทั้งสัญญาณ/เครื่องหมาย ในเชิงชิงปริมาณ ค่าหลักของระบบให้ความสอดคล้องในระดับใกล้เคียงมาก โดย 𝐴21 และ 𝐴41 แตกต่างเพียงประมาณ 2–3% ขณะที่ค่าสัมประสิทธิ์ในเวกเตอร์ 𝐵 (𝐵2 และ𝐵4) ต่างไม่เกิน 1% สะท้อนว่าการแมปพารามิเตอร์เชิงกลและอินพุตทำได้ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม พบความคลาดเคลื่อน เด่นเล็กน้อยในเทอมไฟฟ้า A24 และ A44 ประมาณ 9–10% ซึ่งยังอยู่ในกรอบยอมรับได้สำหรับการ ใช้งานออกแบบตัวควบคุมเบื้องต้น 48 โดยสรุป แบบจำลองทั้งสองชุดผ่านการตรวจสอบความสอดคล้องเชิงเส้น และอยู่ในสภาพ “พร้อมใช้งาน” สำหรับการออกแบบตัว ควบคุมในหัวข้อถัดไป โดยเฉพาะการพัฒนา LQR เพื่อ ควบคุมมุมเอียงของระบบ Reaction Wheel 3.7.2 Control Moment Gyroscope ตารางที่ 3.6 การตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลองของ Control Moment Gyroscope Linear State-Space ( From MATLAB) Simscape Model Linearizer การเทียบแบบจำลองเชิงคณิตกับผลลิเนียร์ไรซ์จาก Simscape แสดงให้เห็นว่าโครงสร้างเมท ริกซ์และทิศสัญญาณของพจน์สำคัญ สอดคล้องกันครบถ้วน มีเครื่องหมายตรงกันตามทฤษฎี ในเชิง ปริมาณ ค่าสำคัญ ใกล้เคียง กันโดยรวม 𝐴21ต่างประมาณ ~3%, ขณะที่ 𝐴42และ 𝐵4ต่างราว ~5– 6% ซึ่งอยู่ในเกณฑ์ที่ยอมรับได้สำหรับการใช้งานออกแบบควบคุม อย่างไรก็ตาม พบความคลาด เคลื่อนเด่นในพจน์ 𝐴24ต่างประมาณ ~9–10% และ 𝐴44 ต่างประมาณ ~12–15% โดยสรุปโมเดล CMG จาก Matlab และ Simscape ให้พฤติกรรมเชิงเส้นที่ สอดคล้องตาม ทฤษฎีและอยู่ในช่วงยอมรับได้ จึงถือว่า “พร้อมใช้งาน” สำหรับขั้นตอนออกแบบตัวควบคุมถัดไป 49 3.8 การออกแบบตัวควบคุมแบบ LQR 3.8.1 โจทย์ควบคุมและข้อกำหนด (Specs) วัตถุประสงค์ของการควบคุมนี้คือการทำให้ระบบสามารถทรงตัวในแนวตั้งได้ โดยการควบคุม แรงดันไฟฟ้าที่ขับเคลื่อนมอเตอร์ เป้าหมายคือทำให้มุมเอียง (𝜃) เข้าใกล้ศูนย์ได้อย่างรวดเร็ว , นุ่มนวล และประหยัดพลังงาน • ข้อกำหนดเบื้องต้น - ขอบเขตอินพุต: ∣ 𝑢 ∣≤ 12𝑣 (แหล่งจ่าย) - Time Setting เวลาตั้งตัว : 2 วินาที - ต้องคงรูป ค่า Gain เดียวกัน สำหรับ 3 เคสทดสอบ (L, S, N) เพื่อเปรียบเทียบยุติธรรม - เอาต์พุตที่ใช้ควบคุม/ประเมิน: 𝑦 = 𝜃 - สถานะ 𝑥 ใช้ 4 ตัวเหมือนเดิม RW: [𝜃, 𝜃̇, 𝜙, 𝜙̇], CMG: [𝜃, 𝜃̇, 𝛾, 𝛾̇ ] 3.8.2 วิธีเลือก Q,R (แนว Bryson’s Rule + ขั้นตอนปรับจูน) 1. ตั้งค่าสูงสุดที่ยอมรับได้ของแต่ละสถานะ/อินพุต 𝑢max = 12 Volt 2. กำหนดไดอะแกนัล (Diagonal) เบื้องต้น 1 1 1 1 𝑄 = diag ( 2 , 2 , , ) 𝜃max 𝜃̇max (𝜙max /𝛾max )2 (𝜙̇max /𝛾̇max )2 1 𝑅 = diag ( 2 ) 𝑢 max 3. ปรับจูนแบบเป็นขั้น - ถ้า ช้าเกิน: ลด 𝑅 หรือเพิ่มน้ำหนักใน 𝜃, 𝜃̇ ของ 𝑄 - ถ้า แรงดันกระชาก/เกินลิมิต: เพิ่ม 𝑅 - ถ้า สั่น/โอเวอร์ชูต: เพิ่มน้ำหนัก 𝜃̇ และความเร็วแอคชูเอเตอร์ (𝜙̇/𝛾̇ ) 3.8.3 การใช้งานใน Simulation (Linear, Simscape, Nonlinear) และการจัดการ Saturation - ใช้ 𝐾 ชุดเดียวกันกับโมเดลทั้งสาม (L, S, N) เพื่อเทียบความสอดคล้องกัน - ใส่ Saturation ∣ 𝑢 ∣≤ 12 Volt (ตามบล็อกที่ตั้งไว้ใน 3.6.4) - บันทึกสัญญาณ 𝜃, 𝜃̇, 𝜙̇/𝛾̇ , 𝑢, 𝜏 เพื่อสรุปใน 3.9 50 3.8.4 ตารางบันทึกผลการออกแบบ จากการทดสอบ ค่า Gain ที่ได้ จะได้ดังตารางดังนี้ ตารางที่ 3.7 ค่า Gain LQR ที่ได้ โมเดล RW (L) RW (S) RW (N) CMG (L) CMG (S) CMG (N) K (Gain) [-182.8290 -36.8190 -0.0316 -0.3879] [201.9264 32.1112 -31.6228 10.2649] จากตารางที่ 3.7 จะเห็นได้ว่าค่ากำไร (Gain) ที่ได้จากการออกแบบตัวควบคุม LQR ของแต่ละ ระบบมีทิศทางสอดคล้องกับพฤติกรรมทางพลวัตของโมเดลที่ได้จากสมการเชิงเส้น ค่ากำไรของ LQR ที่ได้จากทั้งสองระบบให้ทิศทางและขนาดที่เหมาะสมต่อธรรมชาติของตัวกระตุ้นแต่ละประเภท โดย RW ให้การควบคุมที่นุ่มนวลและตอบสนองช้าเล็กน้อย ในขณะที่ CMG มีค่าเกนสูงกว่าเพื่อสร้าง แรงบิดมากในระยะเวลาอันสั้น ซึ่งผลจากการจำลองในหัวข้อถัดไป (3.9) จะนำมาวิเคราะห์และ เปรียบเทียบพฤติกรรมการทรงตัวของทั้งสองระบบโดยละเอียด 3.9 ผลการจำลองและการวิเคราะห์ ในหัวข้อนี้นำเสนอผลการจำลองของระบบ Reaction Wheel (RW) และ Control Moment Gyroscope (CMG) ภายใต้การควบคุมแบบ LQR ที่ได้จากหัวข้อ 3.8 เพื่อประเมินประสิทธิภาพของ การทรงตัวและตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลอง โดยเปรียบเทียบพฤติกรรมของระบบทั้งแบบ เชิงเส้น (Linear), Simscape, และ ไม่เชิงเส้น (Nonlinear) ผ่านตัวแปรสำคัญ ได้แก่ มุมเอียง 𝜃, ความเร็วเชิงมุม, แรงดันอินพุต และแรงบิดสเตบิไลซ์ ซึ่งผลลัพธ์เหล่านี้จะถูกใช้เป็นข้อมูลพื้นฐานใน การคัดเลือกแนวคิดในหัวข้อถัดไป 51 3.9.1 เงื่อนไขการทดสอบ (Test Scenarios) - จุดทำงาน : 𝜃 = 0, 𝜃̇ = 0, ϕ/𝛾 = 0, 𝜙̇/𝛾̇ = 0 - อินพุตควบคุม : LQR จาก 3.8 (ใช้เกนเดียวกันกับโมเดล L, S, N) - กำหนด มุมเริ่มต้น 𝜃(0) = −15∘ แล้วปล่อยควบคุมให้ทรงตัว - ลิมิตอินพุต : ∣ 𝑢 ∣≤ 12 Volt (Saturation) - ผลลัพธ์ที่บันทึก : 𝜃, 𝜃̇, 𝜙̇/𝛾̇ , 𝑢, 𝜏 3.9.2 ดัชนีสมรรถนะที่ใช้เปรียบเทียบ (Performance Indices) - เวลาตั้งตัว (Settling time) : 𝑇𝑠 - เปอร์เซนต์โอเวอร์ชูต (OS) - ความพยายามควบคุม (Control effort): 𝐽𝑢 = ∫0𝑡𝑓 𝑢(𝑡)2 𝑑𝑡 - แรงบิดพีค : 𝜏max 3.9.3 ผลการจำลองของ Reaction Wheel (RW) รูปที่ 3.8 ผลการจำลองภายใต้ LQR เปรียบเทียบ 3 โมเดล (Linear, Simscape, Nonlinear) ของ Reaction Wheel 52 สรุปจากกราฟ - ทั้งสามโมเดล ทับซ้อนกันใกล้เคียงมาก ตลอดช่วงเวลา แสดงความสอดคล้องของแบบจำลอง - อินพุต แตะค่าต่ำสุด −12 V ช่วงเริ่มต้น จากนั้นไต่ขึ้นเป็นบวก ~+2 V แล้วค่อย ๆ ลดกลับสู่ ศูนย์ภายใน ~2 s - แรงบิดสเตบิไลซ์ เริ่มติดลบราว −0.15 N·m, มีสันพีคบวกราว +0.05 N·m ใกล้ ~0.6 s แล้ว ดับลงสู่ศูนย์ - ความเร็วล้อ 𝜙̇ จมลงถึงประมาณ −40 rad/s ก่อนจะกลับเข้าใกล้ศูนย์ที่ ~2 s - ความเร็วเอียง 𝜃̇ พีคบวกราว +1.1 rad/s แล้วลดลง มีอันเดอร์ชูตเล็กน้อยใกล้ศูนย์ - มุม 𝜃 ถูกดึงจาก −15∘ ขึ้นผ่านศูนย์ไปโอเวอร์ชูตราว ~4° แล้วตั้งตัวภายในประมาณ 2 s จากกราฟจะเห็นได้ว่าตัวควบคุมแบบ LQR สามารถทำให้ระบบที่ใช้ Reaction Wheel ทรง ตัวได้ตามเป้าหมายที่ออกแบบไว้ โดยรูปแบบของสัญญาณทั้งสามโมเดล ได้แก่ Linear, Simscape, และ Nonlinear มีแนวโน้มสอดคล้องกันอย่างชัดเจน ซึ่งยืนยันถึงความถูกต้องของแบบจำลองเชิง คณิตศาสตร์ที่ได้จากการหา Lagrange Equation และกระบวนการ Linearization ในหัวข้อก่อน หน้า ในช่วงเริ่มต้นของการทำงาน อินพุตจำเป็นต้องให้แรงดันเชิงลบค่อนข้างสูง เพื่อสร้างแรงบิด ต้านทิศทางของการล้มของเพนดูลัมและชะลอโมเมนตัมเริ่มต้นของระบบ หลังจากนั้นแรงบิดที่เกิดขึ้น บริเวณข้อหมุน 𝜃 จะลดลงอย่างรวดเร็ว ส่งผลให้ระบบค่อย ๆ กลับเข้าสู่สมดุลในเวลาประมาณ 2 วินาที โดยไม่มีอาการสั่นหรือ Overshoot ที่เด่นชัด แสดงถึงการตอบสนองที่มีเสถียรภาพของตัว ควบคุมที่ออกแบบไว้ ผลการจำลองนี้แสดงให้เห็นถึงประสิทธิภาพของตัวควบคุม LQR ในการควบคุม Reaction Wheel ให้สามารถปรับแรงบิดและแรงดันได้อย่างเหมาะสมกับสภาวะการทรงตัว ทั้งในกรณีเชิงเส้น และไม่ เ ชิ ง เส้ น ซึ่ ง ถื อ เป็ น พื้ น ฐานสำคั ญ ก่ อ นนำไปเปรี ย บเที ย บกั บ ระบบ Control Moment Gyroscope (CMG) ในหัวข้อถัดไป เพื่อประเมินศักยภาพของการควบคุมแบบใช้โมเมนตัมไจโรสโค ปต่อไป 53 3.9.4 ผลการจำลองของ Control Moment Gyroscope (CMG) รูปที่ 3.9 ผลการจำลองภายใต้ LQR เปรียบเทียบ 3 โมเดล (Linear, Simscape, Nonlinear) ของ Control Moment Gyroscope 54 สรุปจากกราฟ - เส้นโค้งของ Linear–Simscape–Nonlinear ทับซ้อนใกล้เคียงมาก ตลอดช่วงเวลา แสดง ความสอดคล้องของแบบจำลอง - แรงดันอินพุต พีคช่วงต้นประมาณ +12 V แล้วลดสู่ศูนย์ในอย่างรวดเร็ว แล้วขึ้นไปยัง +5-6 V แล้วค่อย ๆ ลดสู่ศูนย์ภายในราว 2 s - แรงบิดสเตบิไลซ์ที่ข้อ θ พีคประมาณ 0.35–0.40 N·m ในช่วงต้น แล้วดับลงอย่างรวดเร็ว (≈ 0.5–0.7 s) - 𝛾̇ พีคบวกราว +5 rad/s และกลับเข้าใกล้ศูนย์ภายใน ~1 s - 𝜃̇ พีคประมาณ +1.0–1.1 rad/s จากนั้นลดลง มีอันเดอร์ชูตเล็กน้อยก่อนสงบ - 𝜃(𝑡) ถูกดึงจาก −15∘ ผ่านศูนย์ไปโอเวอร์ชูตราว +3–4° แล้วตั้งตัวภายใน ~2 s จากกราฟจะเห็น ได้ว่า ตัว ควบคุมแบบ LQR สามารถทำให้ระบบที่ใช้ Control Moment Gyroscope (CMG) ทรงตั ว ได้ ตามเป้า หมายที่ กำหนด โดยรู ป ทรงของสั ญ ญาณทั้ ง สามแบบคือ Linear, Simscape, และ Nonlinear มีลักษณะใกล้เคียงกันมากตลอดช่วงเวลา แสดงถึงความถูกต้อง และความน่าเชื่อถือของแบบจำลองพลวัตที่พัฒนาไว้ก่อนหน้า อินพุตแรงดันช่วงต้นของระบบต้องใช้ “แรงกระตุกเริ่มต้น” ประมาณ +12 V เพื่อสร้างแรงบิด ต้านการล้มของเพนดูลัมอย่างฉับพลัน จากนั้นแรงดันจะลดลงอย่างรวดเร็วและคงอยู่ที่ระดับ +5–6 V ในช่วงชำระทรานเซียนต์ (Transient Period) ประมาณ 0.5–0.7 วินาที ก่อนจะจางหายเข้าสู่ศูนย์ใน เวลาราว 2 วินาที พฤติกรรมนี้สะท้อนถึงคุณสมบัติเด่นของ CMG ที่สามารถสร้างแรงบิดได้รวดเร็ว และมีขนาดมากในระยะเวลาสั้น ๆ โดยไม่ต้องใช้อินพุตต่อเนื่องเป็นเวลานาน ส่งผลให้ระบบกลับเข้าสู่ สมดุลได้อย่างนุ่มนวลและมั่นคง การตอบสนองของระบบจึงเหมาะสำหรับการทรงตัว ในสถานการณ์ที่ มีการรบกวนขนาดใหญ่หรือมีมุมเอียงเริ่มต้นสูง ซึ่งแสดงถึงข้อได้เปรียบของ CMG เมื่อเทียบกับ Reaction Wheel ที่ต้องใช้อินพุตยาวกว่าก่อนเข้าสู่สมดุล กล่าวโดยสรุป ผลการจำลองยืนยันว่า ตัวควบคุม LQR สำหรับ CMG สามารถทำงานได้ตาม เป้าหมายอย่างมีประสิทธิภาพ ทั้งในด้านรูปแบบสัญญาณที่สอดคล้องกันระหว่างสามโมเดล และการ ตอบสนองที่มั่นคงและรวดเร็ว ซึ่งพร้อมสำหรับการนำผลที่ได้ไปใช้ในการ สรุปและเปรียบเทียบ ประสิทธิภาพของ Reaction Wheel และ Control Moment Gyroscope ในหัวข้อถัดไป 55 3.10 การคัดเลือกแนวคิด (Concept Selection) 3.10.1 วัตถุประสงค์และเกณฑ์ประเมิน เป้า หมายคื อ เลื อ กตั ว กระตุ้ น ที่ เ หมาะสมสำหรั บ งาน “ระบบทรงตั ว อั ต โนมั ติ ข อง รถจักรยานยนต์ หรือยานพาหนะขนาดจริง” โดยใช้ทั้งหลักฐานจากการจำลอง (หัวข้อ 3.9) และ เหตุผลเชิงวิศวกรรม • เกณฑ์และค่าน้ำหนัก (รวม = 1.00) 1. ความสามารถสร้างทอร์ก/เฮดรูม (0.35) 2. ความเร็วการตอบสนอง/เวลาตั้งตัว (0.15) 3. การใช้พลังงาน/ขนาดอินพุต (0.15) 4. ความง่ายของระบบ/ความเสี่ยง (0.15) 5. มวล–ปริมาตรเมื่อสเกลขึ้นสู่ขนาดจริง (0.10) 6. ความพร้อมผลิต/บำรุงรักษา (0.10) 3.10.2 การเปรียบเทียบเชิงตัวเลขจากผลการจำลอง (ก) แรงบิดที่มุมเริ่มต้น −15° รูปที่ 3.10 แรงบิดสเตบิไลซ์ (ผลดิบ) 56 รูปที่ 3.11 แรงบิดสเตบิไลซ์ (กลับทิศให้เครื่องหมายเดียวกัน) ข้อสังเกตหลัก - CMG ให้พีคแรงบิดสูง ~0.35–0.38 N·m และพุ่งขึ้นเร็วภายใน ~0.3–0.5 s - RW ให้พีคเชิงขนาด ~0.15 N·m (มีสันบวกเล็ก ~0.04–0.05 N·m แถว 0.6 s) ก่อนพุ่งขึ้น - เมื่อกลับ ทิศให้เทีย บขนาด (รูปที่ 3.10) เห็นชัดว่า CMG ≈ 2–3 เท่าของ RW ภายใต้ เงื่อนไขเดียวกัน - ทั้งสองระบบตั้งตัวได้ในเวลาประมาณ ~2 s (สอดคล้องหัวข้อ 3.9) (ข) แรงดันอินพุตที่มุมเริ่มต้น −15° รูปที่ 3.12 Volt Input (ผลดิบ) 57 รูปที่ 3.13 Volt Input (กลับทิศให้เครื่องหมายเดียวกัน) ข้อสังเกตหลัก - CMG แตะลิมิตลบช่วงต้น -12 V แล้วตกอย่างรวดเร็วเข้าสู่ศนู ย์ ก่อนดีดขึ้นอีกครั้ง -5–6 V และค่อย ๆ ลดสู่ศูนย์ใน ~2 s - RW แตะลิมิตเชิงลบ −12 V ชั่วขณะ จากนั้นไต่ขึ้นเป็นบวกพีค ~+2.5 V แล้วค่อย ๆ ดับ ลง - แนวโน้มนี้ชี้ว่าแม้ CMG ต้องการ “แรงกระตุกเริ่มต้น” แต่ช่วงเวลาที่ใช้อินพุตมีแนวโน้ม สั้นกว่า ⇒ พลังงานรวมต่ำกว่า (∫ 𝑢2 𝑑𝑡) (ค) แรงบิดเมื่อมุมเริ่มต้นเล็ก (Small Angle) รูปที่ 3.14 แรงบิดสเตบิไลซ์ เมื่อมุมเริ่มต้นเล็ก (ผลดิบ) 58 รูปที่ 3.15 แรงบิดสเตบิไลซ์ เมื่อมุมเริ่มต้นเล็ก (กลับทิศให้เครื่องหมายเดียวกัน) ข้อสังเกตหลัก - เมื่อกลับทิศให้เทียบขนาด (รูปที่ 3.14) กราฟแทบซ้อนทับกัน แสดงว่าในรบกวนมุมเล็ก RW และ CMG ให้ศักยภาพใกล้เคียงกัน - ความต่างที่เห็นคือ พีคแรกของ RW สูงกว่าเล็กน้อย จากการเร่งเพื่อสร้างโมเมนตัม ขณะที่ CMG น้อยกว่าเพราะทอร์กขึ้นกับ 𝛾̇ 3.10.3 - - - สรุปเชิงวิศวกรรมจากหลักฐาน ด้านทอร์ก : Control Moment Gyroscope ชนะชัดเจนในกรณีมุมเริ่มต้น −15∘ ด้วย พีคแรงบิด ~0.35–0.38 N·m เทียบกับ Reaction Wheel ~0.15 N·m ด้านการใช้พลังงาน : อินพุตของ Control Moment Gyroscope มีการเริ่มต้นสูงแต่ ระยะเวลาสั้น และหลังจากนั้นเล็กลงอย่างรวดเร็ว ขณะที่ Reaction Wheel ต้องถือ แรงดันบวกระดับกลางช่วงหนึ่ง → แนวโน้มว่าพลังงานรวมของ Control Moment Gyroscope ดีกว่า ใช้พลังงานน้อยกว่า ด้านความง่าย/ความเสี่ยง : Reaction Wheel โครงสร้างง่ายกว่า โอกาสปัญหาน้อย ต้นทุนและบำรุงรักษาต่ำกว่า ในขณะที่ Control Moment Gyroscope ซับซ้อนกว่า (กิมบอล/สปินความเร็วสูง/บาลานซ์) การสเกลขึ้นขนาดจริง : เมื่อขนาดยานพาหนะใหญ่ขึ้น Reaction Wheel ต้องเพิ่มมวล ล้อและโมเมนตัมมาก ทำให้หนัก/เทอะทะ ขณะที่ Control Moment Gyroscope เพิ่ม ทอร์กได้ด้วยการเพิ่ม 𝜔 และความสามารถกิมบอล จึงสเกลได้ดีกว่า 59 3.10.4 คะแนนแบบถ่วงน้ำหนัก (รวม) ตารางที่ 3.8 คะแนนแบบถ่วงน้ำหนัก เกณฑ์ น้ำหนัก RW (คะแนน) CMG (คะแนน) ทอร์ก 0.35 2 5 เวลาตั้งตัว พลังงาน/อินพุต 0.15 0.15 4 3 4 4 ความง่าย/ความเสีย่ ง 0.15 5 3 เหตุผลโดยสรุป CMG ให้พีคทอร์กสูงกว่า ~2–3x ใน เคส −15° ทั้งคู่ตั้งตัว ~2 s พลังงานรวมของ CMG ดีกว่า น้อยกว่า RW โครงสร้างเรียบง่าย CMG ซับซ้อน/เสี่ยงเชิงกล มวล–ปริมาตร 0.10 2 5 CMG สเกลได้ดีกว่าเมื่อเพิม่ ขนาด (อุตสาหกรรมยานยนต์) ผลิต/บำรุง 0.10 4 2 RW ใช้ชิ้นส่วนมาตรฐานมากกว่า Note ผลรวมถ่วงน้ำหนัก RW = 3.10 / 5 (≈ 62%) และ CMG = 4.10 / 5 (≈ 82%) ตามเกณฑ์และน้ำหนักที่กำหนด CMG ได้คะแนนรวมสูงกว่า (Δ ≈ 1.00) จึงเหมาะเป็นแนวคิด หลักสำหรับการใช้งาน 3.10.5 ข้อสรุปการคัดเลือก สำหรับการใช้งานระดับอุตสาหกรรม/ยานพาหนะขนาดปกติ ที่ต้องการเฮดรูมทอร์กสูงและ ความทนทานต่อการรบกวน เลือก Control Moment Gyroscope เป็นแนวคิดหลัก (Torque สูง กว่า, สเกลได้ดีกว่า) สำหรับ ต้น แบบขนาดเล็ก/งบประมาณจำกัด เพื่อพิสูจน์แนวคิดและทดสอบอัล กอริ ทึ ม Reaction Wheel เพียงพอและคุ้มค่า (ง่าย เบา ตั้งค่ารวดเร็ว) 3.11 การออกแบบและทดสอบการทำงานของระบบทรงตัวอัตโนมัติโดยใช้ตัวกระตุ้นชนิด แลกเปลี่ยนโมเมนตัม ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการออกแบบรายละเอียด (Embodiment Design) และการตรวจสอบ สมรรถนะของรถจักรยานทรงตัวอัตโนมัติ ซึ่งพัฒนาต่อยอดมาจากการออกแบบเชิงหลักการในระยะที่ 2 โดยระบบต้น แบบที่นำเสนอได้เลื อกใช้กลไกการทรงตัว แบบ Control Moment Gyroscope (CMG) ชนิด Single Gimbal จำนวน 2 ชุด ติดตั้งภายในตัวถังเพื่อสร้างแรงบิดต้านทานการล้ม โดยมี รายละเอียดโครงสร้างและการทำงานดังนี้ 60 3.11.1 สถาปัตยกรรมผลิตภัณฑ์ (Product Architecture) โครงสร้างของรถจักรยานทรงตัว อัตโนมัติถูกออกแบบโดยยึดหลักการออกแบบเชิงโมดูล (Modular Design) เพื่อให้ง่ายต่อการประกอบ การบำรุงรักษา และการแยกทดสอบระบบย่อย โดย สามารถแบ่งส่วนประกอบหลักออกเป็น 4 โมดูล ดังแสดงในรูปที่ 3.16 ได้แก่ 1. Front Wheel Module (ชุดล้อหน้า) ประกอบด้วยล้อหน้า แกนล้อ และชุดตะเกียบหน้า ทำหน้าทีใ่ นการบังคับทิศทางและรองรับน้ำหนักส่วนหน้าของยานพาหนะ 2. Rear Wheel Module (ชุดล้อหลัง) ประกอบด้วยล้อหลังและชุดขับเคลื่อนการเคลื่อนที่ (Propulsion) ทำหน้าที่ส่งกำลังให้รถจักรยานเคลื่อนที่ไปข้างหน้า 3. Top Module (ชุดควบคุมและแหล่งจ่ายพลังงาน) ติดตั้งอยู่บริเวณด้านบนของตัวถัง ประกอบด้วยแผงวงจรควบคุมหลัก (Main Controller), เซนเซอร์วัดมุมเอียง (IMU), แบตเตอรี่ และ ชุดสายไฟ (Wiring Harness) ทำหน้าที่เป็นศูนย์กลางในการประมวลผลและจ่ายพลังงานไฟฟ้าให้กับ ทั้งระบบ 4. Body Module (ชุดโครงสร้างหลักและระบบทรงตัว) ประกอบด้วยเฟรมตัวถังประกบ ซ้า ย-ขวา (Left & Right Chassis) และชุ ด อุ ป กรณ์ Control Moment Gyroscope (CMG) แบบ Single Gimbal จำนวน 2 ลูก ที่ติดตั้งอยู่ภายในตัวถังใต้ Top Module ทำหน้าที่เป็นโครงสร้างหลัก ในการยึดโยงโมดูลอื่นๆ เข้าด้วยกัน และเป็นส่วนที่สร้างโมเมนตัมเชิงมุมเพื่อรักษาการทรงตัวของ รถจักรยาน รูปที่ 3.16 ภาพแยกชิ้นส่วน (Exploded View) ของรถจักรยานทรงตัวและโมดูลหลักทั้ง 4 ส่วน 61 นอกจากโครงสร้างทางกลแล้ว สถาปัตยกรรมของระบบยังครอบคลุมถึงการเชื่อมโยงข้อมูลทาง กายภาพในรูปแบบ Simscape Block Diagram ซึ่งได้จากการแปลงแบบจำลอง 3 มิติ (CAD) เพื่อ นำมาวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบ ดังแสดงในรูปที่ 3.17 รูปที่ 3.17 แผนผังการทำงานของระบบ (Block Diagram) ใน Simscape 62 3.11.2 การออกแบบรายละเอียดและการกำหนดพารามิเตอร์ (Configuration Design & Parametric Design) 3.11.2.1 การเลือกวัสดุ (Material Selection) ในการออกแบบโครงสร้างและชิ้นส่วนกลไกของรถจักรยานทรงตัว ผู้วิจัยได้พิจารณาเลือกใช้ วัสดุโดยคำนึงถึงสมบัติทางกล น้ำหนัก และความเหมาะสมกับการใช้งาน ดังนี้ 1. โครงสร้างหลัก (Main Chassis/Body) เลือกใช้ อลูมิเนียมอัลลอยเกรด 6061 (Aluminium 6061) เนื่องจากเป็นวัสดุที่มีอัตราส่วน ความแข็งแรงต่อน้ำหนัก (Strength-to-Weight Ratio) สูง มีความต้านทานการกัดกร่อนที่ดี และ สามารถขึ้นรูปด้วยกระบวนการตัดเฉือน (Machining) ได้ง่าย ซึ่งเหมาะสมสำหรับการทำโครงรถที่ ต้องการความแข็งแรงเพื่อรองรับน้ำหนักของระบบทั้งหมด แต่ยังคงความเบาเพื่อให้ระบบควบคุม สามารถตอบสนองต่อการทรงตัวได้รวดเร็ว 2. ล้อช่วยแรง (Flywheel) เลื อ กใช้ ทองเหลื อ ง (Brass) เป็ น วั ส ดุ ห ลั ก สำหรั บ จานหมุ น ในชุ ด Control Moment Gyroscope เนื่ อ งจากทองเหลื อ งมี ค วามหนาแน่ น สู ง (High Density) เมื่ อ เที ย บกั บ เหล็ ก หรื อ อลูมิเนียม ทำให้สามารถสร้างค่าโมเมนต์ความเฉื่อย (Moment of Inertia) ได้สูงในขณะที่ยังคงรักษา มิติขนาดของจานหมุนให้เล็กกะทัดรัด (Compact Design) ซึ่งเป็นปัจจัยสำคัญในการสร้างแรงบิดกู้ คืน (Restoring Torque) สำหรับการทรงตัวภายในพื้นที่จำกัดของตัวถังรถ 3.11.2.2 การสร้างแบบจำลองและการกำหนดขนาดชิ้นส่วน (Modeling and Sizing of Parts) การออกแบบชิ้นส่วนยานพาหนะและการจำลองการประกอบ (Assembly) ดำเนินการโดยใช้ โปรแกรม Computer-Aided Design (CAD) เพื่ อ ตรวจสอบความเข้า กั น ได้ ข องชิ้ น ส่ ว น (Interference Check) และกำหนดมิติที่เหมาะสมสำหรับการใช้งานจริง โดยมีรายละเอียดมิติที่ สำคัญดังนี้ 63 1. มิติโดยรวมของยานพาหนะ (Overall Dimensions) รถจักรยานทรงตัวต้นแบบถูกออกแบบให้มีขนาดกะทัดรัด โดยมีสัดส่วน กว้าง x ยาว x สูง อยู่ ที่ 150 x 450 x 180 มิลลิเมตร ดังแสดงในรูปที่ 3.18 การกำหนดขนาดนี้อ้างอิงจากข้อจำกัดของ พื้นที่จัดวางอุปกรณ์ (Packaging Constraints) เพื่อให้สามารถติดตั้งชุดล้อ CMG, แบตเตอรี่ และ วงจรควบคุมได้อย่างลงตัวภายในโครงสร้างเฟรม รูปที่ 3.18 แสดงแบบจำลอง 3 มิติ และมิติโดยรวมของรถจักรยาน 64 2. การกำหนดขนาดล้อช่วยแรง (Flywheel Sizing) ชิ้นส่วนสำคัญที่สุดของระบบ CMG คือล้อช่วยแรง (Flywheel) ซึ่งทำหน้าที่สะสมโมเมนตัม เชิ ง มุ ม การออกแบบมุ่ ง เน้ น ไปที่ การกระจายมวลให้ อ ยู่ ห่า งจากจุ ด หมุ น มากที่ สุ ด ( Mass Concentration at Rim) เพื่ อ ให้ ไ ด้ ค่า โมเมนต์ ค วามเฉื่ อ ย (Moment of Inertia) สู ง สุ ด ภายใต้ ข้อจำกัดของน้ำหนักและขนาด จากการคำนวณและปรับแก้แบบ ขนาดสุดท้ายของ Flywheel ที่เลือกใช้มีรายละเอียด ดังนี้ - ขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก (Outer Diameter): 75 มิลลิเมตร - ขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน (Inner Diameter): 60 มิลลิเมตร - ความหนา (Thickness): 30 มิลลิเมตร การออกแบบลักษณะวงแหวนหนา (Thick Ring) ด้วยวัสดุทองเหลืองที่มีความหนาแน่นสูง ช่วยให้ระบบสามารถสร้างแรงบิดต้านทานการล้มได้เพียงพอตามที่ต้องการ รูปที่ 3.19 แบบจำลอง 3 มิติของ Flywheel 65 3.11.2.3 การรวมระบบและการเลือกใช้ชิ้นส่วนมาตรฐาน (System Integration & Standard Parts Selection) เพื่อให้ระบบทำงานประสานกันได้อย่างมีประสิทธิภาพ ผู้วิจัยได้คัดเลือกชิ้นส่วนมาตรฐาน (Standard Parts) ที่มีความน่าเชื่อถือและเหมาะสมกับข้อกำหนดทางเทคนิค โดยแบ่งออกเป็น 3 ระบบหลัก ได้แก่ ระบบขับเคลื่อนและกลไก (Actuators), ระบบควบคุมและตรวจจับ (Control & Sensing), และระบบไฟฟ้ากำลัง (Power & Electronics) ดังรายละเอียดต่อไปนี้ 1. ระบบขับเคลื่อนและกลไก (Actuators) - มอเตอร์ขับเคลื่อนล้อหลัง (Drive Motor) : เลือกใช้ Namiki 22CL-3501PG ซึ่ง เป็นมอเตอร์เกียร์ที่มีแรงบิดเหมาะสมสำหรับการขับเคลื่อนยานพาหนะ - มอเตอร์หมุนล้อช่วยแรง (Spin Motor) : เลือกใช้ UFO 4010 580KV Brushless Motor แบบ Direct Drive ซึ่งเป็นมอเตอร์ไร้แปรงถ่านที่ให้ความเร็วรอบสูงและเสียง เงียบ เหมาะสำหรับการสร้างโมเมนตัมเชิงมุมให้กับ Flywheel - มอเตอร์ค วบคุมกิมบอล (Gimbal Motor) : เลือกใช้ DC Motor RS-385PH ต่อ ร่วมกับชุดเกียร์ทดอัตรา 1:99 เพื่อเพิ่มแรงบิดในการบิดแกน Gimbal ให้สามารถ เอาชนะแรงต้านจาก Gyroscopic Effect ได้อย่างแม่นยำ 2. ระบบควบคุมและตรวจจับ (Control & Sensing) - หน่วยประมวลผลกลาง (Microcontroller) : เลือกใช้ Teensy 4.0 เนื่องจากมี ประสิทธิภาพการประมวลผลสูง (ความเร็ว สัญญาณนาฬิกา 600 MHz) สามารถ รองรับอัลกอริทึมการควบคุมที่ซับซ้อนและการคำนวณ Floating Point ได้รวดเร็ว - เ ซ น เ ซ อ ร์ วั ด มุ ม เ อี ย ง ( IMU) : เ ลื อ ก ใ ช้ MPU6050 (6-Axis Gyroscope & Accelerometer) ในการวัดค่ามุมเอียง (Roll Angle) และความเร็วเชิงมุมของตัวถัง - เซนเซอร์ วั ด ตำแหน่ ง (Encoders) : ใช้ Makerbase AS5047P (Magnetic SPI) และ AMT222-b ในการป้อนกลับค่าตำแหน่งมุมของมอเตอร์ - การสื่ อ สารข้อ มู ล (Communication) : ใช้โ มดูล MCP2551 High-Speed CAN Bus สำหรับการรับส่งข้อมูลระหว่างคอนโทรลเลอร์และอุปกรณ์ต่อพ่ว งที่มี ความ เสถียรสูง 66 3. ระบบไฟฟ้ากำลังและไดรเวอร์ (Power & Drivers) - วงจรขับมอเตอร์ไร้แปรงถ่าน (BLDC Driver) : เลือกใช้ Makerbase VESC MINI 6.7 ที่รองรับกระแสสูงและสามารถโปรแกรมควบคุมมอเตอร์ได้ละเอียด - แหล่งจ่ายพลังงาน (Battery) : ใช้แบตเตอรี่ลิเธียมโพลิเมอร์ (Li-Po) ขนาด 3 Cells (3S) ความจุ 300 mAh อัตราการจ่ายกระแส 45C เพื่อให้จ่ายพลังงานเพียงพอต่อ การกระชากกระแสของมอเตอร์ทั้งระบบ - วงจรขับมอเตอร์กระแสตรง (Brushed DC Motor Driver) : เลือกใช้บอร์ด KRATIAM ที่รองรับแรงดันไฟฟ้า 40V และกระแสไฟฟ้าสูงสุด 55A สำหรับรับสัญญาณ ควบคุมและจ่ายกระแสไฟฟ้าเพื่อขับเคลื่อนมอเตอร์ชุดกิมบอล (Gimbal Motor) ซึง่ สามารถสรุปรายการอุปกรณ์มาตรฐานที่เลือกใช้ในโครงงานได้ดังตารางทื่ 3.9 ตารางที่ 3.9 สรุปรายการอุปกรณ์มาตรฐานที่เลือกใช้ในโครงงาน ระบบ (System) Actuators Control & Sensing Power อุปกรณ์ (Component) Drive Motor Flywheel Spin Motor Gimbal Motor Microcontroller IMU Sensor Encoder Communication BLDC Driver DC Motor Driver Battery รุ่น/คุณสมบัติ (Specification) Namiki 22CL-3501PG UFO 4010 580KV (Brushless Direct Drive) DC Motor RS-385PH (Gear Ratio 1:99) Teensy 4.0 (600 MHz) MPU6050 (6-Axis) Makerbase AS5047P / AMT222-b MCP2551 CAN Bus Module Makerbase VESC MINI 6.7 "KRA-TIAM" Brushed DC Driver (40V/55A) Li-Po 3S (11.1V) 300mAh 45C 3.11.3 การพิจารณาด้านการออกแบบอุตสาหกรรมและธุรกิจ 3.11.3.1 ด้านการทำงาน (Functionality) และผลกระทบต่อสิ่งแวดล้อม จุดเด่นสำคัญของยานพาหนะต้นแบบนี้คือ ความสามารถในการ "ทรงตัวได้เองแม้ขณะหยุด นิ่ง" ซึ่งแตกต่างจากจักรยานทั่วไปที่ต้องอาศัยความเร็วในการทรงตัว ระบบควบคุมอาศัยหลักการของ Control Moment Gyroscope (CMG) ทำงานร่ ว มกั บ อั ล กอริ ทึ ม การควบคุ ม แบบ Linear Quadratic Regulator (LQR) เพื่อสร้างแรงบิดกู้คืนตำแหน่งสมดุลอย่างรวดเร็วและแม่นยำ 67 ในด้านการออกแบบความปลอดภัย (Safety Consideration) ผู้วิจัยได้ติดตั้งระบบจำกัดพิกัด มุมของกิมบอล (Gimbal Angle Limitation) เพื่อป้องกันภาวะ Singularity ที่อาจสร้างความ เสียหายต่อโครงสร้าง พร้อมทั้งกำหนดเงื่อนไขการตัดการทำงานของมอเตอร์ทันที (Safety Cut-off) เมื่อมุมเอียงของรถเกินกว่าค่าวิกฤตที่กำหนด เพื่อป้องกันอันตรายต่อผู้ทดสอบและอุปกรณ์ สำหรับผลกระทบต่อสิ่งแวดล้อม (Environmental Consideration) ยานพาหนะต้นแบบนี้ถูก ออกแบบให้เป็นระบบขับเคลื่อนด้วยไฟฟ้า 100% (Zero Emission) ลดการปล่อยมลพิษเมื่อเทียบ กับเครื่องยนต์สันดาป และมีการเลือกใช้วัสดุโครงสร้างอลูมิเนียมซึ่งมีความแข็งแรง ทนทาน และ สามารถนำกลับมารีไซเคิลได้ในอนาคต 3.11.3.2 ด้านการผลิต (Manufacturing) กระบวนการผลิตชิ้นส่วนสำหรับรถจักรยานทรงตัวต้นแบบได้เลือกใช้เทคโนโลยีการผลิตแบบ ผสมผสาน (Hybrid Manufacturing) ระหว่างการกัดขึ้น รูปวั ส ดุ (Subtractive Manufacturing) และการเติมเนื้อวัส ดุ (Additive Manufacturing) เพื่อให้ได้ชิ้นส่ว นที่มีความแข็งแรงและความ ละเอียดเหมาะสมกับหน้าที่การใช้งาน ดังนี้ 1. การกั ด ขึ้ น รู ป ด้ ว ยเครื่ อ งจั ก รซี เ อ็ น ซี (CNC Machining) : ใช้ สำหรั บ ผลิ ต ชิ้ น ส่ ว น โครงสร้างหลักและเฟรมตัวถัง (Body Frame) โดยใช้วัสดุอลูมิเนียมอัลลอย 6061 เพื่อความแข็งแรง และเที่ยงตรง 2. งานกลึงและเจาะ (Turning and Drilling) : ใช้สำหรับปรับแต่งชิ้นส่วนเพลา (Shaft) และงานเจาะรูยึดประกอบบนเฟรมตัวถังเพื่อให้ได้ระยะพิกัดสวมประกอบที่แม่นยำ 3. การพิมพ์สามมิติด้วยพลาสติก (FDM 3D Printing - PETG) : ใช้สำหรับผลิตชิ้นส่วนที่มี รูปทรงซับซ้อนและไม่ต้องรับแรงกระแทกสูง ได้แก่ กล่องใส่อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ (Electrical Box), พูลเลย์ขับเคลื่อนล้อหลัง (Rear Wheel Pulley), และฐานยึดแม่เหล็ก (Mounting Magnetic) โดย เลือกใช้วัสดุ PETG เนื่องจากมีความเหนียวและทนความร้อนได้ดีกว่า PLA 4. การพิมพ์สามมิติระบบเรซิน (SLA/Resin Printing) : ใช้สำหรับผลิตชุดเฟืองเชื่อมต่อ แกนกิมบอล (Gear Connect Gimbal) เนื่องจากต้องการความละเอียดผิวสูงและขนาดฟันเฟืองที่ แม่นยำเพื่อการส่งกำลังที่ราบรื่น 68 3.11.3.3 ด้านต้นทุนและความเป็นไปได้ทางการตลาด (Cost & Marketability) ในการประเมินต้นทุนการสร้างต้นแบบ (Prototype Costing) ผู้วิจัยได้รวบรวมค่าใช้จ่ายจริง ในการจัดซื้อวัสดุอุปกรณ์และค่าบริการผลิตชิ้นส่วน โดยมีรายละเอียดดังตารางที่ 3.10 ตารางที่ 3.10 สรุปต้นทุนการผลิตรถจักรยานทรงตัวต้นแบบ รายการ (Item) ส่วนควบคุมและเซนเซอร์ (Control & Sensors) AMT222B-V Absolute Encoder Makerbase AS5047P Encoder Makerbase VESC MINI 6.7 Pro อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ (Electronics) มอเตอร์ (Motors) UFO 4010 580KV Namiki 22CL-3501PG Dive Motor (Cytron) โครงสร้างและวัสดุ (Structure & Materials) ค่าบริการผลิตชิ้นส่วน (Manufacturing Cost) ชิ้นส่วนมาตรฐาน (Misumi) เส้นพลาสติก PETG (ม้วน) วัสดุสิ้นเปลือง (สกรู,เรซิ่น,เพลา ฯลฯ) รวมเป็นเงินทั้งสิ้น (Grand Total) จำนวน (Qty) ราคาต่อหน่วย (Unit Price) ราคารวม (Total Price) 1 3 2 1 2,710.27 738.32 1,962.62 - 2,710.27 2,214.96 3,925.24 1000.00 2 1 1 580.00 300.00 - 1,160.00 300.00 864.00 เหมา 1 - 406.00 - 7,040.60 1,676.18 406.00 5,123.00 26,420.25 บาท หมายเหตุ: ราคาดังกล่าวอิงตามใบเสร็จรับเงินรวมภาษีเรียบร้อยแล้ว ความเป็น ไปได้ทางการตลาด (Marketability) แม้ว่าต้นแบบนี้จะมีต้ นทุนค่อ นข้า งสู ง เนื่องจากเป็นการผลิตชิ้นเดียว (Single Unit Production) แต่ในเชิงพาณิชย์ โครงงานนี้มีศักยภาพใน การพัฒนาต่อยอดเป็น "สื่อการเรียนรู้ด้านหุ่นยนต์และระบบควบคุม (Educational Robotics Kit)" สำหรั บ ระดั บ อุ ด มศึ ก ษา เนื่ อ งจากสามารถแสดงผลลั พ ธ์ ข องทฤษฎี การควบคุ ม ขั้ น สู ง (Advanced Control Theory) ได้อย่างเป็นรูปธรรม หรือพัฒนาเป็นยานพาหนะส่วนบุคคลขนาดเล็ก ในอนาคตที่ต้องการความคล่องตัวสูงในพื้นที่จำกัด 69 บทที่ 4 ผลการดำเนินงานและวิเคราะห์ผล 4.1 การวิเคราะห์ผลทางฟิสิกส์และการตรวจสอบความถูกต้อง (Physical Analysis & Model Validation) เพื่อให้มั่น ใจว่าแบบจำลองที่นำมาใช้ในการออกแบบตัว ควบคุม (Controller Design) มี ความถูกต้องและสะท้อนพฤติกรรมทางกายภาพของรถจักรยานจริง ผู้วิจัยได้ทำการตรวจสอบความ ถูกต้องของแบบจำลอง 2 ขั้นตอน ได้แก่ การเปรียบเทียบแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (Model Validation) และการทดสอบผลการควบคุมการทรงตัวผ่านการจำลองสถานการณ์ (Simulation Results) ดังรายละเอียดต่อไปนี้ 4.1.1 การตรวจสอบความถูกต้องของสมการสถานะ (State-Space Model Validation) ผู้วิจัยได้ดำเนินการเปรียบเทียบแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้จาก 2 วิธีการ เพื่อยืนยันความ ถูกต้องของพารามิเตอร์ระบบ ดังนี้ 1. วิธีการคำนวณเชิงทฤษฎี (Theoretical Derivation) ในการตรวจสอบความถู ก ต้ อ งของแบบจำลองที่ ส ร้า งขึ้ น ด้ ว ยคอมพิ ว เตอร์ (Simscape Multibody) จำเป็นต้องเปรียบเทียบกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่วิเคราะห์ขึ้นตามหลักการทาง ฟิสิกส์ ในหัวข้อนี้จะแสดงขั้นตอนการหาสมการพลวัต (Equations of Motion) ของรถจักรยานทรง ตัวที่ติดตั้งระบบ CMG คู่แบบขบกัน (Scissored Pair CMG) โดยใช้วิธีการของลากรังจ์ (Lagrange's Method) และการวิเคราะห์แรงบิดไจโรสโคปิก 70 นิยามพิกัดและพารามิเตอร์ (Coordinates & Parameters Definition) กำหนดให้ 𝜃 เป็นมุมเอียงของตัวถังรถเทียบกับแนวดิ่ง (Roll Angle) และ 𝛾 เป็นมุมหมุนของ ชุดกิมบอล (Gimbal Angle) เนื่องจากระบบเป็นแบบ Scissored Pair CMG ซึ่งมีชุดกิมบอล 2 ชุด เชื่อมต่อกันด้วยกลไกเฟือง (Mechanical Linkage) ทำให้เมื่อสั่งงาน ชุดกิม บอลทั้งสองจะหมุนใน ทิศทางตรงกันข้ามด้วยขนาดมุมที่เท่ากัน (𝛾1 = 𝛾 , 𝛾2 = −𝛾) และ Flywheel ทั้งสองจะหมุน สวนทางกัน (𝜔1 = 𝜔 , 𝜔2 = −𝜔) เพื่อสร้างแรงบิดเสริมกันในแกน Roll และหักล้างแรงบิดใน แกน Yaw โดยกำหนดพารามิเตอร์ทางกลสำหรับใช้ในการวิเคราะห์ดังรูปภาพที่ 4.1 และตารางที่ 4.1 ต่อไปนี้ o ตารางที่ 4.1 พารามิเตอร์เชิงกลสำหรับการวิเคราะห์ สัญลักษณ์ 𝜃 𝛾 𝑚𝑏 𝐼𝑏 ℎ𝑏 𝑚𝑔 𝐼𝑔𝑥 Igy Igz ℎ𝑔 𝑚𝑓 𝐼𝑓𝑥 Ify Ifz ℎ𝑓 Ω 𝑔 ความหมาย มุมเอียงของตัวรถ (Bike Roll Angle) มุมหมุนของชุดกิมบอล (Gimbal Angle) มวลของรถจักรยาน (Bike mass) โมเมนต์ความเฉื่อยของรถจักรยานรอบแกนการล้ม (Bike Roll Inertia) ระยะความสูงจุดศูนย์ถ่วงของรถจักรยานจากพื้น (Bike CG Height) มวลของ ชุด Gyro Scope (Gyro mass) โมเมนต์ความเฉื่อยของ ชุด Gyro Scope รอบแกน x โมเมนต์ความเฉื่อยของ ชุด Gyro Scope รอบแกน y โมเมนต์ความเฉื่อยของ ชุด Gyro Scope รอบแกน z ระยะความสูงจุดศูนย์ถ่วงของ ชุด Gyro Scope มวลของ ชุด Flywheel (Flywheel mass) โมเมนต์ความเฉื่อยของ ชุด Flywheel รอบแกน x โมเมนต์ความเฉื่อยของ ชุด Flywheel รอบแกน y โมเมนต์ความเฉื่อยของ ชุด Flywheel รอบแกน z ระยะความสูงจุดศูนย์ถ่วงของ ชุด Flywheel ความเร็วรอบการหมุนของ Flywheel (Spin Speed) ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก หน่วย rad rad kg kg·m² m kg·m² kg·m² kg·m² kg·m² m kg·m² kg·m² kg·m² kg·m² m rad/s m/s² 71 รูปที่ 4.1 พารามิเตอร์เชิงกล การวิเคราะห์แรงบิดไจโรสโคปิก (Gyroscopic Torque Analysis) หัวใจสำคัญของระบบ Scissored Pair CMG คือการรวมกันของโมเมนตัมเชิงมุม ( 𝐻) ของทั้ง สองชุด จากกฎของไจโรสโคป 𝜏 = 𝜔𝑝𝑟𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠 𝑥 𝐻 จะได้แรงบิดลัพธ์ที่กระทำต่อตัวรถดังนี้ o 𝜏𝑛𝑒𝑡 = 𝜏𝑐𝑚𝑔1 + 𝜏𝑐𝑚𝑔2 (4.1) 𝜏𝑛𝑒𝑡 = (𝐼𝑓𝑧 Ω)𝛾̇ + (𝐼𝑓𝑧 (−Ω))(−𝛾̇ ) (4.2) 𝜏𝑛𝑒𝑡 = 𝐼𝑓𝑧 Ω𝛾̇ + 𝐼𝑓𝑧 Ω𝛾̇ = 2𝐼𝑓𝑧 Ω𝛾̇ (4.3) กำหนดให้ ค่าเกนไจโรสโคปรวม (Total Gyroscopic Gain) คือ 𝐻𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝐼𝑓𝑧 Ω 72 สมการการเคลื่อนที่ (Equations of Motion) การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบเครื่องต้นแบบรถจักรยานสองล้อทรงตัวด้วย กลไกไจโรสโคปแบบควบคุมโมเมนต์ (CMG) ผู้วิจัยได้ประยุกต์ใช้วิธีออยเลอร์ -ลากรางจ์ (EulerLagrange Method) โดยเริ่มต้นจากการพิจารณาพลังงานจลน์ (Kinetic Energy : T) และพลังงาน ศักย์ (Potential Energy : V) ของแต่ละชิ้นส่วนในระบบ ได้แก่ ตัวโครงรถจักรยาน (b), ชุดกิมบอล (g) และล้อช่วยแรง (f) o โดยพลังงานจลน์ของโครงรถจักรยาน ชุดกิมบอล และล้อช่วยแรง สามารถเขียนสมการได้ดังนี้ 1 1 𝐼𝑏 𝜃̇ 2 + 𝑚𝑏 (𝜃̇ sin 𝛾)2 2 2 (4.4) 𝑇𝑔 = 1 1 1 1 2 2 𝑚𝑔 ℎ𝑔 2 𝜃̇ 2 + 𝐼𝑔𝑥 (𝜃̇ cos 𝛾) + 𝐼𝑔𝑦 (𝛾̇ )2 + 𝐼𝑔𝑧 (𝜃̇ sin 𝛾) 2 2 2 2 (4.5) 𝑇𝑓 = 1 1 1 1 2 2 𝑚𝑓 ℎ𝑓 2 𝜃̇ 2 + 𝐼𝑓𝑥 (𝜃̇ cos 𝛾) + 𝐼𝑓𝑦 (𝛾̇ )2 + 𝐼𝑓𝑧 (𝜃̇ sin 𝛾) 2 2 2 2 (4.6) 𝑇𝑏 = เนื่องจากระบบใช้กลไกแบบคู่สมมาตร พลังงานจลน์รวม ( 𝑇𝑡 ) และพลังงานศักย์รวม (𝑉𝑡 ) ของระบบ จึงมีค่าเท่ากับ 𝑇𝑡 = 𝑇𝑏 + 2(𝑇𝑔 + 𝑇𝑓 ) (4.7) 𝑉𝑡 = 𝑉𝑏 + 2(𝑉𝑔 + 𝑉𝑓 ) (4.8) 𝑉𝑡 = [𝑚𝑏 ℎ𝑏 + 2(𝑚𝑓 ℎ𝑓 + 𝑚𝑔 ℎ𝑔 )]𝑔 cos 𝜃 (4.9) จากความสัมพันธ์ของพลังงาน จะได้ฟังก์ชันลากรางเจียน (L) ดังนี้ ℒ(𝜃, 𝜃̇, 𝛾, 𝛾̇ ) = T − V (4.10) เมื่อนำฟังก์ชันลากรางเจียนมาแก้สมการอนุพันธ์ตามทฤษฎีออยเลอร์-ลากรางจ์ 𝑑 ∂ℒ ∂ℒ ( )− = 𝜏𝑖 , (𝑞1 = 𝜃, 𝑞2 = 𝛾) 𝑑𝑡 ∂𝑞̇ 𝑖 ∂𝑞𝑖 (4.11) (โดยที่ 𝑞1 = 𝜃 แทนมุมเอียงของตัวรถ และ 𝑞2 = 𝛾 แทนมุมของกิมบอล) 73 จากการคำนวณ จะได้สมการพลวัตของระบบแบบไม่เป็นเชิงเส้น 2 สมการหลัก ได้แก่ สมการที่ 1: พลวัตของมุมเอียงตัวถังรถ (𝜃) [𝐼𝑏 + 𝑚𝑏 ℎ𝑏 2 + 2(𝑚𝑔 ℎ𝑔 2 + 𝐼𝑔𝑥 cos 2 𝛾 + 𝐼𝑔𝑦 sin2 𝛾 + 𝑚𝑓 ℎ𝑓 2 + 𝐼𝑓𝑥 cos 2 𝛾 + 𝐼𝑓𝑦 sin2 𝛾)]𝜃̈ +2𝐼𝑓𝑧 Ω cos 𝛾 𝛾̇ − [𝑚𝑏 ℎ𝑏 + 2(𝑚𝑔 ℎ𝑔 + 𝑚𝑓 ℎ𝑓 )]𝑔 sin 𝜃 = 0 (4.12) สมการที่ 2: พลวัตของมุมกิมบอล (𝛾) 𝛾̈ = 2𝐼𝑓𝑧 Ω 2[𝐼𝑔𝑦 + 𝐼𝑓𝑦 ] 𝜃̇ + 𝜏𝑚 2[𝐼𝑔𝑦 + 𝐼𝑓𝑦 ] − 𝐵𝑚 2[𝐼𝑔𝑦 + 𝐼𝑓𝑦 ] 𝛾̇ (4.13) (โดยที่ 𝜏𝑚 คือแรงบิดจากมอเตอร์กิมบอล และ 𝐵𝑚 คือสัมประสิทธิ์ความเสียดทานเชิงหนืด) เพื่อให้นำแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไปใช้ในการออกแบบตัวควบคุมเชิงเส้น (เช่น LQR) ได้อย่างมี ประสิทธิภาพ จึงทำการประมาณค่าระบบรอบจุดสมดุล (Equilibrium point) ที่ 𝜃 ≈ 0 และ 𝛾 ≈ 0 (ทำให้ sin 𝜃 ≈ 𝜃, cos 𝛾 ≈ 1 และ sin 𝛾 ≈ 0) จะได้สมการการเคลื่อนที่เชิงเส้นดังนี้ สมการที่ 1: พลวัตเชิงเส้นของมุมเอียงตัวถังรถ (𝜃) 𝜃̈ = [𝑚𝑏 ℎ𝑏 + 2(𝑚𝑔 ℎ𝑔 + 𝑚𝑓 ℎ𝑓 )]𝑔 𝜃 [𝐼𝑏 + 𝑚𝑏 ℎ𝑏 2 + 2(𝑚𝑔 ℎ𝑔 2 + 𝐼𝑔𝑥 + 𝑚𝑓 ℎ𝑓 2 + 𝐼𝑓𝑥 )] 2𝐼𝑓𝑧 Ω − 𝛾̇ [𝐼𝑏 + 𝑚𝑏 ℎ𝑏 2 + 2(𝑚𝑔 ℎ𝑔 2 + 𝐼𝑔𝑥 + 𝑚𝑓 ℎ𝑓 2 + 𝐼𝑓𝑥 )] (4.14) สมการที่ 2: พลวัตเชิงเส้นของมุมกิมบอล (𝛾) 𝛾̈ = 2𝐼𝑓𝑧 Ω 2[𝐼𝑔𝑦 + 𝐼𝑓𝑦 ] 𝜃̇ + 𝜏𝑚 2[𝐼𝑔𝑦 + 𝐼𝑓𝑦 ] − 𝐵𝑚 2[𝐼𝑔𝑦 + 𝐼𝑓𝑦 ] 𝛾̇ (4.15) (โดยที่ 𝜏𝑚 คือแรงบิดจากมอเตอร์กิมบอล และ 𝐵𝑚 คือสัมประสิทธิ์ความเสียดทานเชิงหนืด) แทนค่าแรงบิดมอเตอร์ด้วยสมการทางไฟฟ้า (DC Motor Model) 𝑁𝐾𝑡 (𝑉𝑖𝑛 − 𝑁𝐾𝑏 𝛾̇ ) 𝑅 (เมื่อ 𝑁 คืออัตราทดเกียร์, 𝑅 คือความต้านทาน, 𝐾𝑡 , 𝐾𝑏 คือค่าคงที่มอเตอร์) 𝜏𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = (4.16) 74 การประมาณเชิงเส้นและสมการสถานะ (Linearization & State-Space) ทำการประมาณค่ารอบจุดสมดุล (𝜃 ≈ 0, 𝛾 ≈ 0) โดยให้ sin 𝜃 ≈ 0 และ cos 𝛾 ≈ 1 จัด รูปสมการให้อยู่ในรูปแบบ State-Space o 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (4.17) 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 (4.18) จากสมการข้า งต้ น จะเห็ น ได้ ว่า รู ป แบบสมการสถานะ (State–Space Representation) ที่ ไ ด้ สามารถนำไปใช้ในการวิเคราะห์พลวัตของระบบและการออกแบบตัวควบคุมได้โดยตรง โดยกำหนด ตัวแปรสถานะ (State Vector) 𝑥 = 𝜃, 𝜃̇, 𝛾, 𝛾̇ ) และอินพุต 𝑢 = 𝑉𝑖𝑛 (แรงดันไฟฟ้า) จะได้เมทริกซ์ ดังนี้ 0 𝐴21 𝐴= 0 [ 0 1 0 0 2𝐼𝑓𝑧 Ω 2(𝐼𝑔𝑦 + 𝐼𝑓𝑦 ) 0 0 0 0 0 −𝐴24 1 −[ 𝐵𝑚 𝐾𝑡 𝐾𝑏 + ] 2(𝐼𝑔𝑦 + 𝐼𝑓𝑦 ) 2𝑅(𝐼𝑔𝑦 + 𝐼𝑓𝑦 ) ] (4.19) [𝑚 ℎ +2(𝑚𝑔 ℎ𝑔 +𝑚𝑓 ℎ𝑓 )]𝑔 𝑏 โดยที่ 𝐴21 = 𝐼 +𝑚 ℎ 2𝑏+2(𝑚 ℎ 2 +𝐼 𝑏 𝑏 𝑏 2 𝑔𝑥 +𝑚𝑓 ℎ𝑓 +𝐼𝑓𝑥 ) 𝑔 𝑔 2𝐼 Ω 𝐴24 = [𝐼 +𝑚 ℎ 2 +2(𝑚 ℎ 𝑓𝑧2 +𝐼 𝑏 𝑏 𝑏 𝐵 = 𝑔 𝑔 2 𝑔𝑥 +𝑚𝑓 ℎ𝑓 +𝐼𝑓𝑥 ) 0 0 0 𝑁𝐾𝑡 ] (4.20) [2𝑅[𝐼𝑔𝑦 + 𝐼𝑓𝑦 ]] 𝐶 = [1 0 0 0] 𝐷 = [0] (4.21) (4.22) โดยสมการชุดนี้ คือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์ของระบบจักรยาน Double CMG ซึ่ ง ยื น ยัน ที่ มาของตัว เลขสัม ประสิท ธิ์ ต่างๆ ในเมทริ ก ซ์ ที่ไ ด้จากการคำนวณด้ว ยคอมพิว เตอร์ โดยเฉพาะเทอมที่มีการคูณ 2 (2𝐼𝑓𝑧 𝛺) ซึ่งเกิดจากผลรวมของ Flywheel สองตัว 75 2. วิธีการทำให้เป็นเชิงเส้นด้วยคอมพิวเตอร์ (Computational Linearization) โดยกระบวนการวิเคราะห์นี้ ได้ประยุกต์ใช้เครื่องมือ Linearization Tool ภายในชุดโปรแกรม MATLAB/Simulink เพื่อดำเนินการสกัดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์จากระบบที่มีความซับซ้อน โดย กระทำผ่าน แบบจำลอง 3 มิติ (3D CAD Model) ที่ได้รับการออกแบบและนำเข้ามาจากโปรแกรม SolidWorks สู่สภาพแวดล้อมของ Simscape Multibody รูปที่ 4.2 หน้าต่างโปรแกรม Model Linearizer (Linearize) เมื่อดำเนินการสกัดแบบจำลองเชิงเส้นด้วยคอมพิวเตอร์เสร็จสิ้นแล้ว เพื่อเป็นการตรวจสอบ ความถูกต้อง (Verification) ของแบบจำลองดังกล่าว ลำดับถัดไปจะเป็นการนำผลลัพธ์ที่ได้ ไ ป เปรี ย บเที ย บกั บ แบบจำลองทางคณิ ต ศาสตร์ ที่ ไ ด้ จากการคำนวณเชิ ง ทฤษฎี ( Theoretical Calculation) ซึ่งพิสูจ น์ส มการพลศาสตร์ด้ว ยวิธีการของออยเลอร์ - ลากรองจ์ (Euler-Lagrange Method) โดยค่าสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์ที่ได้จากทั้งสองวิธีการได้ถูกนำมาแสดงเปรียบเทียบไว้ใน ตารางที่ 4.2 76 ตารางที่ 4.2 ตารางเปรียบเทียบค่า Linear State-Space (From MATLAB) Simscape Model Linearizer จากตารางที่ 4.2 เมื่อพิจารณาเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์ระบบ (System Matrix: A) และเมทริ ก ซ์ อิ น พุ ต (Input Matrix : B) ระหว่า งผลลั พ ธ์ ที่ ไ ด้ จากการคำนวณเชิ ง ทฤษฎี (Theoretical Calculation) และผลลั พ ธ์ จากเครื่ อ งมื อ Linearization Tool ในโปรแกรม MATLAB/Simscape สามารถวิเคราะห์ผลได้ดังนี้ ประการแรก ความสอดคล้ อ งของโครงสร้า งและเครื่ อ งหมาย (Structure and Sign Consistency) พบว่าพารามิเตอร์หลักที่มีผลต่อนัยสำคัญทางพลศาสตร์ของระบบมีค่าเป็นไปใน ทิศทางเดียวกัน สังเกตได้จากตำแหน่ง A{2,1} และ A{4,2} ซึ่งเป็นตัวแปรที่บ่งบอกถึงความสัมพันธ์ ระหว่างมุมเอีย งและโมเมนต์บิด มีเครื่องหมายที่ตรงกันทั้งสองวิธี แสดงให้เห็นว่าแบบจำลอง Simscape มีพฤติกรรมการตอบสนองทางฟิสิกส์ที่ถูกต้องตรงตามสมการการเคลื่อนที่ของออยเลอร์ ลากรองจ์ 77 ประการที่ ส อง ความคลาดเคลื่ อ นของขนาดตั ว เลข (Magnitude Discrepancy) เมื่ อ พิจารณาค่าตัวเลข พบว่ามีความแตกต่างกันในบางตำแหน่ง เช่น ค่าในตำแหน่ง B{4,1} ที่มีความ แตกต่างกันระหว่าง 428.22 และ 378.40 สาเหตุหลักเกิดจากความละเอียดในการระบุคุณสมบัติทาง กายภาพ โดยในการคำนวณเชิงทฤษฎีนั้นมักมีการสมมติรูปทรงของวัตถุเป็นอุดมคติ (Ideal Rigid Body) เพื่อความสะดวกในการคำนวณ ในขณะที่แบบจำลอง 3 มิติจาก SolidWorks มีการคำนวณ ค่าโมเมนต์ความเฉื่อย (Moment of Inertia) และจุดศูนย์ถ่วง (Center of Gravity) จากรูปทรงจริง ที่มีความซับซ้อนและการกระจายตัวของมวลที่ละเอียดกว่า จึงทำให้ผลลัพธ์จาก Simscape มีความ ใกล้เคียงกับความเป็นจริงของเครื่องต้นแบบมากกว่า ประการสุดท้าย ค่าเศษเหลือจากการคำนวณ (Computational Residuals) ในผลลัพธ์ จาก Linearization Tool ปรากฏค่าตัวเลขขนาดเล็กมากในตำแหน่งที่ควรเป็นศูนย์ตามทฤษฎี (เช่น A{2,2} หรื อ A_{2,3}) ค่า เหล่า นี้ เ กิ ด จากกระบวนการประมาณค่า เชิ ง ตั ว เลข ( Numerical Approximation) ของอัล กอริทึมคอมพิว เตอร์ ซึ่งมีค่าน้อยมากจนไม่มีนัยสำคัญต่อเสถีย รภาพ โดยรวมของระบบ โดยสรุป แม้จะมีค่าความคลาดเคลื่อนทางตัวเลขเล็กน้อยอันเนื่องมาจากความละเอียดของ แบบจำลองทางกายภาพ แต่โครงสร้างหลักและพฤติกรรมทางพลศาสตร์ของระบบมีความถูกต้อง สอดคล้องกัน จึงเป็น การยืน ยัน ได้ว่าแบบจำลอง Simscape ที่ส ร้างขึ้น มีความน่าเชื่อถือ และ เหมาะสมที่จะนำไปใช้เป็นตัวแทนของระบบจริง สำหรับขั้นตอนการออกแบบตัวควบคุม (Controller Design) ในลำดับต่อไป 4.1.2 ผลการควบคุมการทรงตัวในระบบจำลอง (Simulation Results of Balancing Control) ภายหลังจากที่ได้ดำเนินการตรวจสอบและยืนยันความถูกต้องของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (Model Verification) จนเป็นที่น่าพอใจแล้ว ขั้นตอนสำคัญลำดับถัดไปคือการนำแบบจำลองดังกล่าว เข้าสู่กระบวนการจำลองการทำงานจริง (Real-time Simulation) เพื่อทดสอบประสิทธิภาพของ ระบบควบคุ ม แบบป้ อ นกลั บ (Closed-loop Control) ภายในสภาพแวดล้ อ มของ Simscape Multibody การทดสอบในขั้ น ตอนนี้ มี วั ต ถุ ป ระสงค์ ห ลั ก เพื่ อ ประเมิ น สมรรถนะ ( Performance Evaluation) และวิ เ คราะห์ ค วามสามารถในการรั ก ษาเสถี ย รภาพการทรงตั ว (Self-Balancing Stability) ของระบบ ว่าสามารถตอบสนองต่อค่าความผิดพลาดและดึงระบบกลับสู่จุดสมดุลได้ตามที่ ออกแบบไว้หรือไม่ โดยเพื่อให้ผลการทดสอบมีความครอบคลุมและสามารถวัดผลได้ชัดเจน 78 จึงได้กำหนดขอบเขตและเงื่อนไขสำหรับการทดสอบไว้ดังนี้ - แหล่งจ่ายไฟ (Power Supply): 12 V DC - ความเร็วรอบล้อช่วยแรง (Flywheel Speed): 5,000 RPM - มุมเริ่มต้น (Initial Condition): เอียง -15 องศา จากแนวดิ่ง (Unstable Equilibrium) - ผลลัพธ์ที่บันทึก : 𝜃, 𝜃̇, 𝜙, 𝜙̇/𝛾̇ , 𝑢 รูปที่ 4.3 กราฟผลการตอบสนองของระบบ ผลการจำลองการทำงานพบว่า ระบบควบคุมสามารถสร้างแรงบิดกู้คืน (Restoring Torque) ผ่านการบิดตัวของชุดกิมบอล (Gimbal) เพื่อดึงรถจักรยานจากมุมเอียงเริ่มต้น -15 องศา ให้กลับมา ตั้งตรงที่ตำแหน่ง Set-point ได้อย่างมีเสถียรภาพ ดังกราฟการตอบสนองในรูปที่ 4.3 79 4.2 การออกแบบพารามิเตอร์และการยืนยันผลการออกแบบ (Parametric Design and Design Verification) จากการวิเคราะห์และปรับจูนพารามิเตอร์ผ่านแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้ระบบ สามารถทรงตัวได้ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด ได้สรุปค่าพารามิเตอร์ของตัว ควบคุมและการ ตรวจสอบความเหมาะสมของอุปกรณ์ขับเคลื่อน ดังนี้ 4.2.1 การออกแบบตัวควบคุม (Controller Design) เลื อ กใช้ การควบคุ ม แบบ Linear Quadratic Regulator (LQR) ซึ่ ง เป็ น การควบคุ ม แบบ เหมาะสมที่สุด (Optimal Control) เพื่อหาค่าอัตราขยายป้อนกลับ (Feedback Gain) ที่ทำให้ระบบ เข้าสู่จุดสมดุลโดยใช้พลังงานและเวลาที่เหมาะสมที่สุด โดยได้กำหนดเมทริกซ์น้ำหนัก Q และ R โดย ให้ความสำคัญกับตัวแปรสถานะมุมเอียงตัวถัง (Roll Angle) มากที่สุด เพื่อให้ระบบรักษาการทรงตัว ได้ดีที่สุด ในขณะที่กำหนดค่า R ให้เหมาะสมเพื่อไม่ให้มอเตอร์ทำงานหนักจนเกินไป จากการคำนวณ ผ่านแบบจำลอง จากการคำนวณผ่านแบบจำลอง ได้ค่าอัตราขยาย K (Gain Matrix) สำหรับนำไปใช้ในระบบ จริง ดังนี้ K = [-65.229681 ,-20.234117 ,-5.000000 , 0.704636] โดยค่าเหล่านี้สัมพันธ์กับตัวแปรสถานะ (State Variables) ของระบบ ได้แก่ มุมเอียงตัวถัง (Roll Angle), ความเร็วเชิงมุมตัวถัง (Roll Rate), มุมกิมบอล (Gimbal Angle), และความเร็วเชิงมุมกิม บอล (Gimbal Rate) ตามลำดับ ซึง่ จากค่าดังกล่าวสามารถวิเคราะห์พฤติกรรมระบบได้ดังนี้ 1. การทรงตัว เป็นหลัก (K1) มีค่าสูงสุด เพื่อให้ระบบตอบสนองต่อการเอียงของรถอย่าง รวดเร็วและดึงกลับสู่สมดุลทันที 2. การลดการแกว่ง (K2) ทำหน้าที่เสมือนตัวหน่วง (Damper) ช่วยให้การกลับสู่สมดุลมีความ นุ่มนวล ไม่เกิดการแกว่งค้าง 3. การให้อิสระกิมบอล (K3) แสดงว่าระบบยอมให้กิมบอลหมุนได้อิสระเพื่อสร้างแรงบิดแก้ (Gyroscopic Torque) โดยไม่พยายามฝืนดึงกิมบอลกลับตำแหน่งศูนย์เร็วเกินไป 4. การหน่วงความเร็วกิมบอล (K4) แม้จะมีค่าน้อยที่สุด แต่มีหน้าที่สำคัญในการเป็นตัวหน่วง (Damping) ให้กับมอเตอร์กิม บอลโดยตรง เพื่อป้องกันไม่ให้มอเตอร์หมุนตอบสนองรุนแรงหรือเร็ว เกินไปจนเกิดความไม่เสถียร (Instability) ภายในชุดกลไกขับเคลื่อน 80 4.2.2 การวิเคราะห์ผลตอบสนองและสมรรถนะ (Response Analysis) จากผลการจำลองการควบคุม (ดังรูปที่ 4.3 ในหัวข้อ 4.1.2) สามารถวิเคราะห์สมรรถนะของ ระบบได้ดังนี้ 1. เวลาเข้าสู่สภาวะคงตัว (Settling Time) ระบบสามารถดึงตัวถังจากมุมเอียง -15 องศา กลับสู่ตำแหน่งสมดุลแนวตั้งฉาก (0 องศา) ได้ภายในเวลาประมาณ 0.75 วินาที ซึ่งถือว่ามีการตอบสนองที่รวดเร็วและนุ่มนวล เพียงพอต่อการใช้งานจริง 2. การพุ่งเกิน (Overshoot) ระบบแทบไม่มีการพุ่งเกิน (No Overshoot) ของมุมเอียงเลยเมื่อลู่เข้าสู่จุดสมดุล แสดง ให้เห็นถึงเสถียรภาพและอัตราการหน่วง (Damping) ที่ยอดเยี่ยมของค่า K ที่เลือกใช้ ทำให้รถ ไม่เกิดอาการแกว่งไปมาอย่างรุนแรง 3. ขอบเขตการทำงานของกิมบอล (Gimbal Range) จากการจำลองพบว่า ในขณะที่ระบบตอบสนองต่อมุมเอียงเริ่มต้น -15 องศา กิมบอลมี การหมุนบิดเพื่อสร้างแรงบิดกู้คืนไปที่มุมสูงสุด ประมาณ 20 องศาเท่านั้น และยังอยู่ภายใต้ ขอบเขตจำกัดทางกล (Mechanical Limit) ที่ออกแบบไว้อย่างปลอดภัย ทำให้มั่นใจได้ว่า ระบบสามารถทำงานได้จริงโดยไม่เกิดการชนของโครงสร้าง 4.2.3 การยืนยันขนาดของอุปกรณ์ขับเคลื่อน (Actuator Sizing Verification) ปัจจัยสำคัญในการออกแบบคือการตรวจสอบว่า มอเตอร์กิมบอล (Gimbal Motor) ที่เลือกใช้ มีสมรรถนะเพียงพอหรือไม่ โดยพิจารณาความเร็วเชิงมุมสูงสุด ซึ่งจากผลการจำลองพบว่า ระบบ ต้องการความเร็วเชิงมุมสูงสุด (Maximum Required Speed) อยู่ที่ประมาณ 4 rad/s (หรือ 38.2 rpm) เมื่อเปรียบเทียบกับสเปคของมอเตอร์ DC รุ่น RS-385PH ที่ผ่านชุดเกียร์อัตราทด 1:99 ซึ่ง สามารถทำความเร็วรอบได้ประมาณ 60 rpm (ที่ Rated Load) พบว่ามอเตอร์มีความเร็ว รอบที่ เพียงพอและครอบคลุมความต้องการของระบบ 81 4.3 การตรวจสอบและยืนยันพารามิเตอร์ทางกายภาพ (Physical Parameter Verification) ในการออกแบบระบบควบคุมให้มีความแม่นยำ พารามิเตอร์ทางกายภาพโดยเฉพาะโมเมนต์ ความเฉื่อย (I) และตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วง (CG) ของรถจักรยานต้นแบบมีความสำคัญอย่างยิ่ง ผู้วิจัยจึง ได้ทำการทดลองเพื่อยืนยันค่าเหล่านี้แทนการใช้ค่าจากแบบจำลองคอมพิวเตอร์เพียงอย่างเดียว 4.3.1 หลักการของระบบ Trifilar Pendulum การหาโมเมนต์ความเฉื่อย (Moment of Inertia) โดยใช้วิธี Trifilar Pendulum เป็นวิธีการ ทดลองที่ ใ ช้ใ นการประมาณค่า Mass Moment of Inertia ของวั ต ถุ ที่ มีรูป ทรงซั บ ซ้ อ นหรื อไม่ สามารถคำนวณได้โ ดยตรงจากสมการ วิธีนี้อาศัยหลักการของการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic Motion) ของระบบที่ถูกแขวนด้วยเส้นเชือกสามเส้นที่มีความยาวเท่ากัน รูปที่ 4.4 ชุดทดสอบ Trifilar Pendulum และการกำหนดตำแหน่งจุดอ้างอิง (Ref Point) ระบบ Trifilar ประกอบด้วยฐานที่ใช้รองรับวัตถุที่ต้องการวัด ที่แขวนด้วยเชือกสามเส้น ซึ่งมี ความยาวเท่ากันและติดตั้งกับจุดยึดด้านบน โดยวัตถุที่ต้องการหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยจะถูกวางไว้ บนฐานบริเวณศูนย์กลางของฐาน เมื่อฐานถูกหมุนออกจากตำแหน่งสมดุลเล็กน้อย ระบบจะเกิดการ สั่นแบบหมุนรอบแกนในแนวดิ่ง และมีพฤติกรรมคล้ายกับการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย จากการวิเคราะห์การสั่นของระบบ สามารถวัด คาบการสั่น (Time Period, T) ของฐานที่ใช้ รองรับวัตถุที่ต้องการวัด ได้ ซึ่งค่าคาบการสั่นนี้จะขึ้นอยู่กับ มวลของวัตถุ ระยะตำแหน่งของเชือกที่ แขวน ความยาวของเชือก 82 โดยทั่วไปสมการที่ใช้ในการคำนวณสามารถเขียนได้ในรูป 𝑚𝑔𝑟 2 𝑇 2 𝐼= 4𝜋 2 ℎ โดยที่ 𝐼 𝑚 𝑔 𝑟 𝑇 ℎ (4.23) คือ Mass moment of inertia (kg·m2) คือ มวลของวัตถุ (kg) คือ ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (m/s2) คือ ระยะจากศูนย์กลางของฐานที่ใช้รองรับวัตถุถึงตำแหน่งของเชือก (m) คือ คาบการสั่นของระบบ (s) คือ ความยาวแนวดิ่งของสายแขวน (m) 4.3.2 การประมวลผลข้อมูลสัญญาณการสั่น (Data Processing) รูปที่ 4.5 สัญญาณการสั่นจากการทดลองและจุดยอดที่ตรวจพบ (Peak Detection) ในการทดลองด้วยวิธี Trifilar Pendulum จำเป็นต้องเก็บข้อมูลจากการแกว่งของระบบเพื่อใช้ ในการคำนวณคาบการสั่น (Period) และนำไปใช้ในการหาค่า Mass Moment of Inertia (MOI) ของ โครงสร้าง โดยวัตถุจะถูกวางบนฐานและหมุนเล็กน้อยรอบแกนแนวดิ่ง จากนั้นปล่อยให้ระบบเกิดการ สั่นแบบหมุน ข้อมูลการสั่นจะถูกบันทึกในรูปของสัญญาณเวลา (Time Series Signal) ซึ่งแสดงการ เปลี่ยนแปลงของตำแหน่ง ซึ่งข้อมูลที่ได้จากการวัดในช่วงแรกจะเป็น Raw Data ซึ่งอาจมีสัญญาณ รบกวน (Noise) และค่าผิดปกติบางส่วน ดังนั้นจึงต้องมีการประมวลผลข้อมูลเพิ่มเติมก่อนนำไปใช้ใน การคำนวณ กระบวนการประมวลผลข้อมูลประกอบด้วย การกรองสัญญาณ (Signal Filtering) เพื่อ ลดสัญญาณรบกวน, การตรวจจับจุดยอดของการสั่น (Peak Detection), การจัดกลุ่มของจุดยอด (Peak Clustering) หลังจากผ่านขั้นตอนดังกล่าวจะได้ข้อมูล Filtered Data ซึ่งสามารถใช้ในการ คำนวณคาบการสั่นเฉลี่ยของระบบได้ ค่าเฉลี่ยของคาบการสั่นสามารถคำนวณได้จากสมการ 83 ∑𝑁−2 𝑖=1 (𝑡𝑖+2 − 𝑡𝑖 ) 𝑇𝑎𝑣𝑔 = 𝐸[𝑇] = 𝑁−2 (4.24) โดยที่ 𝑇𝑎𝑣𝑔 คือ คาบการสั่นเฉลี่ย (s) 𝑡𝑖 𝑁 คือ เวลาของจุดยอดการสั่นลำดับที่ 𝑖 (s) คือ จำนวนจุดยอดที่ตรวจพบ 4.3.3 แบบจำลองคณิตศาสตร์สำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ การสร้างแบบจำลองที่ใช้สำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ของระบบ จำเป็นต้องเริ่มจากการ วิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่าง Moment of Inertia ที่วัดได้จากการทดลอง กับตำแหน่งของวัตถุบน ฐาน โดยอาศัยหลักการของ Parallel Axis Theorem โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่วัดได้รอบแกน อ้างอิงสามารถเขียนสมการได้เป็นดังนี้ 𝐼𝑚 = 𝐼0 + 𝑚𝑟 2 (4.25) คือ Moment of Inertia ที่วัดได้จากการทดลอง (kg·m2) 𝐼0 คือ Moment of Inertia รอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วง (kg·m2) 𝐼0 คือ มวลของวัตถุ (kg·m2) 𝑟 คือ ระยะระหว่างจุดอ้างอิงและตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง (m) จากสมการสามารถพิจารณาได้ว่า เมื่อมีการเลื่อนตำแหน่งออกจากจุดศูนย์กลางมวล ตำแหน่ง จุดศูนย์ถ่วง (CG) ค่าที่พิจารณาจะมีแนวโน้มเพิ่มขึ้น ในทางกลับกัน เมื่อพิกัดของจุดอยู่ตรงกับ ตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วง (CG) ค่าดังกล่าวจะมีค่าต่ำที่สุดดังนั้น ในการกำหนดระบบพิกัด จึงกำหนดให้ ตำแหน่งของจุดอ้างอิงบนฐานเป็น โดยที่ 𝐼𝑚 𝑥𝑟𝑒𝑓 , 𝑦𝑟𝑒𝑓 และตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุเป็น 𝑥𝑐𝑔 , 𝑦𝑐𝑔 ดังนั้นระยะระหว่างสองจุดสามารถเขียนได้เป็น 𝑟 2 = (𝑥𝑟𝑒𝑓 − 𝑥𝑐𝑔 )2 + (𝑦𝑟𝑒𝑓 − 𝑦𝑐𝑔 )2 (4.26) การแทนค่าตำแหน่ง CG ให้ความคลาดเคลื่อนระหว่างจุดอ้างอิงและจุดศูนย์ถ่วงเป็น 𝑥𝑐𝑔 = 𝑥𝑟𝑒𝑓 − ∆𝑥 𝑦𝑐𝑔 = 𝑦𝑟𝑒𝑓 − ∆𝑦 (4.27) (4.28) 84 เมื่อแทนค่าลงในสมการระยะ จะได้ 𝑟 2 = (𝑥𝑟𝑒𝑓 − ∆𝑥)2 + (𝑦𝑟𝑒𝑓 − ∆𝑦)2 (4.29) ให้แทนค่า 𝑟 2 ลงในสมการ Parallel Axis Theorem สมการที่ (4.23) จะได้ 2 𝐼𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 𝐼0 + 𝑚[(𝑥𝑟𝑒𝑓 − ∆𝑥) + (𝑦𝑟𝑒𝑓 − ∆𝑦)2 ] (4.30) เมื่อกระกายสมการจะได้ 𝐼𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 𝐼0 + 𝑚∆𝑥 2 + 𝑚∆𝑦 2 + 2𝑚∆𝑥𝑥𝑟𝑒𝑓 2 2 +2𝑚∆𝑦 + 𝑚𝑥𝑟𝑒𝑓 + 𝑚𝑦𝑟𝑒𝑓 (4.31) หลังจากได้สมการพื้นฐานจากการวิเคราะห์ในส่ว น Guide Model ซึ่งแสดงความสัม พั นธ์ ระหว่างค่า Moment of Inertia ที่วัดได้กับตำแหน่งของวัตถุบนฐาน ขั้นตอนถัดไปคือการสร้าง แบบจำลองเชิงสถิติ (Regression Model) เพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ของระบบจากข้อมูล การ ทดลอง จากสมการ (4.31) จะเห็นได้ว่าค่า Moment of Inertia ที่วัดได้มีความสัมพันธ์กับตัว แปร ตำแหน่ง 𝑥𝑟𝑒𝑓 , 𝑦𝑟𝑒𝑓 ในรูป ของพหุนามลำดับสอง (Second-order polynomial) ดังนั้นสมการ สามารถเขียนใหม่ในรูปของ Polynomial Regression Model ได้เป็นดังนี้ 2 2 𝐼𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑟𝑒𝑓 + 𝛽2 𝑦𝑟𝑒𝑓 + 𝛽3 𝑥𝑟𝑒𝑓 + 𝛽4 𝑦𝑟𝑒𝑓 (4.32) โดยที่ 𝐼𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 คือ Moment of Inertia ที่วัดได้จากการทดลอง 𝑥𝑟𝑒𝑓 , 𝑦𝑟𝑒𝑓 คือ พิกัดตำแหน่งของวัตถุบนฐาน 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2 , 𝛽3 , 𝛽4 คือ พารามิเตอร์ของแบบจำลองที่ต้องประมาณค่า ในบางกรณีที่ตำแหน่งของวัตถุไม่ได้อยู่ในแนวสมมาตร อาจเกิดความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร ตำแหน่งทั้งสองแกน จึงสามารถเพิ่มพจน์ Cross-Term ในแกน x และ แกน y เข้าไปในแบบจำลอง ได้ ดังนั้นสามารถเขียนสมการได้ว่า 2 2 𝐼𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑟𝑒𝑓 + 𝛽2 𝑦𝑟𝑒𝑓 + 𝛽3 𝑥𝑟𝑒𝑓 + 𝛽4 𝑦𝑟𝑒𝑓 + 𝛽5 𝑥𝑟𝑒𝑓 𝑦𝑟𝑒𝑓 (4.33) ซึ่งสมการนี้ใช้สำหรับกรณี Non-alignment 85 4.3.4 ผลการทดลองและการตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลอง ตารางที่ 4.3 ข้อมูลการทดลองจากระบบ Trifilar Pendulum จำนวน ครั้ง ความยาวเชือก (m) พิกัดจุดแกน พิกัดจุดแกน x y คาบเวลา T (sec) It (kg·m2) 1 3.200667 -5 -5 1.461942 0.124502 2 3.2 -5 0 1.389791 0.112539 3 3.200667 -5 5 1.362027 0.108065 4 3.199 -10 0 1.540341 0.138285 5 3.199333 0 10 1.273954 0.094581 6 3.190333 0 -5 1.373925 0.110318 7 3.194667 0 -10 1.530806 0.136763 8 3.19 0 0 1.276582 0.095249 9 3.199 0 5 1.257836 0.092212 10 3.199667 0 20 1.506371 0.132225 11 3.197667 5 0 1.215678 0.086171 12 3.204 5 10 1.208941 0.08505 13 3.199667 10 -5 1.301669 0.098731 14 3.198333 10 0 1.213856 0.085895 ตารางนี้แสดงข้อมูลที่ได้จากการทดลองโดยใช้ระบบ Trifilar Pendulum ซึ่งประกอบด้วยค่า ความยาวสายแขวน ตำแหน่งพิกัดของวัตถุบนฐาน (x,y) คาบการสั่นของระบบ T และค่า Moment of Inertia (It)ที่คำนวณได้จากสมการของ Trifilar Pendulum เพื่อนำไปใช้ในการสร้างแบบจำลอง Regression Model สำหรับการวิเคราะห์และประมาณของตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วง (CG) ของระบบ 86 พารามิเตอร์ในแบบจำลองสามารถประมาณค่าได้โดยใช้วิธี Least Squares Regression ซึ่ง เขียนในรูปของเมทริกซ์ได้เป็น 𝑥 = (𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 𝐵 (4.34) โดยที่ 1 . 𝐴= . . (. 𝑥𝑟𝑒𝑓 . . . . 𝑦𝑟𝑒𝑓 . . . . 2 𝑥𝑟𝑒𝑓 . . . . 2 𝐼𝑡 𝑦𝑟𝑒𝑓 . . ,𝐵 = . . . . . ) (.) 𝛽0 𝛽1 𝑥 = 𝛽2 𝛽3 (𝛽4 ) (4.35) (4.36) แบบจำลองที่ได้จากขั้นตอน Regression จะถูกใช้เป็นฟังก์ชันสำหรับการวิเคราะห์และหาค่า ต่ำสุดของค่า Inertia ซึ่งสอดคล้องกับตำแหน่งของ Center of Gravity ของโครงสร้าง โดยใช้เทคนิค optimization เช่น Gradient Descent และการวิเคราะห์ด้วย Contour Plot การตรวจสอบความถูกต้องและความเหมาะสมของแบบจำลอง เพื่อประเมินว่ารูปแบบสมการ ที่สร้างขึ้นสามารถอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งของวัตถุ ที่อยู่บนฐานและค่า Moment of Inertia ได้ดีแค่ไหน ในการศึกษานี้ได้พิจารณาแบบจำลองสองกรณี Perfect Alignment Model และ Non-Alignment Model แบบจำลองทั้งสองถูกนำไปเปรียบเทียบกับข้อมูลจากการทดลองเพื่อ ประเมินความถูกต้อง โดยใช้ค่า Coefficient of Determination (𝑅2) เป็นตัวชี้วัด รูปที่ 4.6 พื้นผิวการตอบสนองของค่าโมเมนต์ความเฉื่อยเทียบกับตำแหน่งพิกัด ค่า R2 ใช้สำหรับวัดความสามารถของแบบจำลองในการอธิบายความแปรปรวนของข้อมูล โดย มีค่าระหว่าง 0 ถึง 1 ซึ่งค่าที่เข้าใกล้ 1 แสดงว่าแบบจำลองสามารถอธิบายข้อมูลได้ดี 87 จากผลการวิเคราะห์พบว่า • Perfect Alignment Mode 𝑅2 = 0.99599407379413 • Non-Alignment Model 𝑅2 = 0.99618370021830 ค่า 𝑅2 ดังกล่าวแสดงให้เห็นว่าแบบจำลองทั้งสองอธิบายข้อมูลการทดลองได้ถูกต้อง เนื่องจาก 𝑅2 มี ค่าใกล้เคียง 1 4.3.5 การหาตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงด้วยวิธี Optimization การนำแบบจำลองมาวิเคราะห์หาตำแหน่งของ Center of Gravity (CG) ของระบบ โดยอาศัย เทคนิค Optimization เพื่อหาตำแหน่งที่ทำให้ค่า Inertia มีค่าต่ำที่สุด จึงใช้วิธี Gradient Descent ซึ่งเป็นวิธี Optimization ที่ใช้การคำนวณ Gradient ของฟังก์ชันเพื่อนำไปสู่ตำแหน่งที่เป็นค่าต่ำสุด ของฟังก์ชัน รูปที่ 4.7 กราฟคอนทัวร์ และเส้นทางการค้นหาค่าต่ำสุดด้วยวิธี Gradient Descent ผลลัพธ์ของการคำนวณสามารถแสดงในรูปของ Contour Plot ซึ่งแสดงระดับของค่า inertia ในพื้น ที่พิกัด x-y โดยเส้น Contour แต่ละเส้นแสดงค่าของ Inertia ที่เท่ากัน และเส้นทางของ Gradient Descent แสดงทิศทางการเคลื่อนที่ของการคำนวณไปยังตำแหน่งที่เป็นค่าต่ำสุ ด ของ ฟังก์ชัน จาก model ข้างต้นจะทำให้เห็นว่า จุดที่ 88 4.3.6 สรุปพารามิเตอร์จริงของระบบ จากการวิเคราะห์ข้อมูลและการใช้แบบจำลอง regression ร่วมกับวิธีการ Gradient Descent Optimization สามารถประมาณตำแหน่งของ Center of Gravity (CG) ของระบบได้ ผลการคำนวณ พบว่าตำแหน่งของจุด CG อยู่ที่ 𝑥𝑟𝑒𝑓 = 8.394 cm 𝑦𝑟𝑒𝑓 = 5.193 cm โดยตำแหน่งดังกล่าวเป็นจุดที่ทำให้ค่า Moment of Inertia ของระบบมีค่าต่ำที่สุด รูปที่ 4.8 ตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงจริงของโครงสร้างรถจักรยานต้นแบบ จากตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงที่ได้ สามารถนำไปใช้ในการวิเคราะห์ตำแหน่งจริงของจักรบานที่ วางไว้บนฐาน โดยพิจารณาความแตกต่างระหว่างตำแหน่งอ้างอิงและตำแหน่งของ CG ∆𝑥 = 84.12 mm ∆𝑦 = 52.03 mm จากการคำนวณด้ ว ยวิ ธี Trifilar Pendulum และการประมวลผลข้ อ มู ล ด้ ว ยแบบจำลอง regression พบว่าค่า Moment of Inertia ของระบบ มีค่า 𝐼𝑏 = 𝐼𝑡 − 𝐼0 = 0.01164982086842457 kg·m2 โดยที่ 𝐼0 คือ ค่า Inertia ของ Trifilar base 𝐼𝑡 คือ ค่า Inertia ของ Trifilar base รวมกับ จักรยาน 𝐼𝑏 คือ ค่า Inertia ของ จักรยาน 89 4.3.7 การเปรียบเทียบค่าพารามิเตอร์และวิเคราะห์ความคลาดเคลื่อน เพื่อตรวจสอบความน่าเชื่อถือของแบบจำลองคอมพิวเตอร์ที่ใช้ในการออกแบบ ผู้วิจัยได้นำค่า โมเมนต์ความเฉื่อยที่ได้จากการทดลองจริง (Experimental) มาเปรียบเทียบกับค่าที่โ ปรแกรม SolidWorks คำนวณได้จากแบบจำลอง 3 มิติ (CAD Model) โดยมีรายละเอียดดังนี้: • ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยจาก SolidWorks (𝐼𝐶𝐴𝐷 ) : 0.01182676 kgm^2 • ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยจากการทดลอง (𝐼𝐸𝑋𝑃 ) : 0.01164982 kgm^2 ผู้ วิ จั ย ได้ ทำการคำนวณหาค่า ความคลาดเคลื่ อ นร้ อ ยละ (Percentage Error) ระหว่า ง แบบจำลองและการทดลองจริง ตามสมการ (4.37) %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝐼𝐶𝐴𝐷 − 𝐼𝐸𝑋𝑃 | × 100 𝐼𝐶𝐴𝐷 (4.37) เมื่อแทนค่าจะได้ความคลาดเคลื่อนเท่ากับ %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |0.01182676 − 0.01164982| × 100 ≈ 1.50% 0.01182676 จากผลการเปรียบเทียบพบว่า ความคลาดเคลื่อนระหว่างค่าโมเมนต์ความเฉื่อยจากแบบจำลอง คอมพิวเตอร์และการทดลองจริงมีค่าเพียง 1.50% ซึ่งถือเป็นระดับความคลาดเคลื่อนที่ต่ำมาก ความ แตกต่างเพียงเล็กน้อยนี้อาจเกิดจากความไม่สม่ำเสมอของความหนาแน่นวัสดุที่ใช้สร้างชิ้นงานจริง หรือน้ำหนักของสายไฟและตะปูเกลียวที่ไม่ได้ถูกรวมไว้ในโปรแกรม CAD อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์นี้เป็นการยืนยันว่าแบบจำลองสามมิติที่ผู้วิจัยสร้างขึ้นมีความแม่นยำและ สอดคล้องกับคุณสมบัติทางกายภาพจริงอย่างยิ่ง โดยในการทดสอบการควบคุมการทรงตัวในหัวข้อ ถัดไป ผู้วิจัยจะเลือกใช้ค่าพารามิเตอร์จากการทดลองจริง 𝐼𝐸𝑋𝑃 เป็นหลัก เพื่อให้ระบบควบคุมแบบ LQR มีประสิทธิภาพและสะท้อนสภาวะจริงได้ดีที่สุด 90 4.4 การสร้างเครื่องต้นแบบและการติดตั้งระบบ (Prototype Implementation) หลังจากกระบวนการออกแบบและกำหนดขนาดชิ้นส่วนในแบบจำลอง 3 มิติ (CAD Model) เสร็จสิ้น ผู้วิจัยได้ดำเนินการสร้างชิ้นส่วนและประกอบรถจักรยานทรงตัวต้นแบบ (Self-Balancing Bicycle Prototype) จนเสร็จสมบูรณ์ โดยสามารถแบ่งการพิจารณาผลการประกอบออกเป็น 2 ส่วน หลัก ได้แก่ โครงสร้างทางกลและระบบอิเล็กทรอนิกส์ 4.4.1 ผลการผลิตและประกอบโครงสร้างทางกล (Mechanical Assembly) จากการประกอบชิ้นส่วนทางกล พบว่าโครงสร้างสามารถประกอบเข้าด้วยกันได้อย่างสมบูรณ์ และได้สัดส่วนตามที่ออกแบบไว้ โดยมีรายละเอียดของชิ้นส่วนที่สำคัญดังนี้ - โครงสร้างหลัก (Main Chassis): ผลิตจากวัสดุอลูมิเนียมอัลลอยเกรด 6061 ผ่านกระบวนการ กัดขึ้นรูป (CNC Machining) ซึ่งให้ความแม่นยำสูง ทำให้พิกัดความเผื่อ (Tolerance) ของจุด ยึดต่างๆ ประกอบเข้ากับแกนเพลาและมอเตอร์ได้พอดี - กลไกขับเคลื่อน (Drive Mechanisms): ด้านขวาของตัวรถมีการติดตั้งชุดเฟืองทดกำลังสีดำ (Gears) เพื่อใช้ส่งกำลังจากมอเตอร์กิมบอล ในขณะที่ด้านซ้ายมีการติดตั้งชุดสายพานและพูล เลย์ (Belt & Pulley) สำหรับขับเคลื่อนล้อหลัง - ล้อช่วยแรง (Flywheel) และชิ้นส่วนรองรับ: ชุดล้อช่วยแรงทองเหลืองถูกติดตั้งไว้บริเวณจุด ศูนย์กลางของโครงสร้างรถอย่างแน่นหนา ชิ้นส่วนอื่นๆ เช่น กล่องใส่อุปกรณ์ด้านบนและ ชิ้นส่วนรองรับ ผลิตขึ้นจากการพิมพ์ 3 มิติ (3D Printing) ด้วยวัสดุพลาสติก ซึ่งช่วยลด น้ำหนักรวมของตัวรถได้เป็นอย่างดี 4.4.2 การติดตั้งระบบอิเล็กทรอนิกส์และวงจรควบคุม (Electrical Integration) เพื่อให้ระบบมีเสถียรภาพและลดปัญหาจากสัญญาณรบกวน (Noise) หรือการหลุดหลวมของ สายไฟขณะระบบทำงาน ผู้วิจัยได้ดำเนินการติดตั้งระบบอิเล็กทรอนิกส์ดังนี้ - การจัดวางอุปกรณ์ศูนย์กลาง: อุปกรณ์ควบคุมหลักทั้งหมด เช่น ไมโครคอนโทรลเลอร์ Teensy 4.0, วงจรขับมอเตอร์ (BLDC Driver) และแบตเตอรี่ Li-Po ถูกรวบรวมจัดวางไว้ ภายในกล่องยึดอุปกรณ์ (Enclosure Box) ด้านบนของตัวรถ เพื่อป้องกันการกระแทกและ รักษาสมดุลของจุดศูนย์ถ่วง (Center of Gravity) ให้อยู่ในตำแหน่งที่เหมาะสม 91 - การเดินสายไฟ (Cable Management): สายไฟกำลังและสายสัญญาณถูกจัดกลุ่มและร้อย สายอย่างเป็นระเบียบ เพื่อไม่ให้ขัดขวางการเคลื่อนที่ของแกนกิมบอลขณะทำงาน - การติดตั้งเซนเซอร์: เซนเซอร์วัดพฤติกรรมการเคลื่อนที่ (IMU) และเซนเซอร์วัดมุม (Encoder) ถูกยึดติดกับโครงสร้างที่มั่นคง เพื่อลดผลกระทบจากการสั่นสะเทือนของเฟรมรถ ทำให้ข้อมูลป้อนกลับมีความแม่นยำสูง 4.4.3 ภาพรวมของเครื่องต้นแบบ (Final Prototype Overview) เครื่องต้นแบบจักรยานทรงตัวที่สร้างเสร็จสมบูรณ์ มีมิติและขนาดสอดคล้องกับข้อจำกัดของ พื้น ที่จัดวางที่กำหนดไว้ในขั้นตอนการออกแบบ (Packaging Constraints) กลไกทุกส่ว นทำงาน ประสานกัน ได้อย่างราบรื่น เครื่องต้นแบบนี้มีความพร้อมอย่างเต็มที่สำหรับการนำไปทดสอบ ประสิ ท ธิ ภาพการทรงตั ว จริ ง (Experiment Test) และเก็ บ ผลตอบสนองของระบบเพื่ อ นำไป เปรียบเทียบกับผลการจำลอง (Simulation) ในขั้นตอนถัดไป รูปที่ 4.9 ลักษณะเครื่องต้นแบบที่ประกอบสมบูรณ์ (มุมมองด้านซ้าย) รูปที่ 4.10 ลักษณะเครื่องต้นแบบที่ประกอบสมบูรณ์ (มุมมองด้านขวา) 92 4.5 การปรับปรุงตัวควบคุมสำหรับการใช้งานจริง (Practical Controller Modification) จากการจำลองการทำงานในสภาวะอุดมคติ ตัวควบคุม LQR แบบเชิงเส้นสามารถรักษาสมดุล ของระบบได้อย่างมีประสิทธิภาพ อย่างไรก็ตาม เมื่อนำชุดคำสั่งไปเตรียมทดสอบกับเครื่องต้นแบบ จริ ง (Hardware) พบว่า มอเตอร์ แ ละกลไกขั บ เคลื่ อ นกิ ม บอลมี พ ฤติ ก รรมความไม่ เ ป็ น เชิ ง เส้ น (Nonlinearities) ซ่ อ นอยู่ ได้ แ ก่ ความเสี ย ดทานสถิ ต (Static Friction) และช่ ว งอั บ สั ญ ญาณ (Deadzone) ผู้วิจัยจึงได้ดำเนินการปรับปรุงโครงสร้างของตัวควบคุมเพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว โดย ประยุกต์ใช้เทคนิคการจัดตารางอัตราขยาย (Gain Scheduling) และการชดเชยความเสีย ดทาน (Friction Compensation) รูปที่ 4.11 บล็อกไดอะแกรมแสดงการปรับปรุงตัวควบคุมสำหรับการใช้งานจริง 4.5.1 การจัดตารางอัตราขยาย (Gain Scheduling for Dual-Region Control) หากใช้ค่าอัตราขยาย (LQR Gain) เพียงชุดเดียวที่มีค่าสูง ระบบจะเกิดการกระชากและสั่น อย่างรุนแรง (Chattering) เมื่อรถอยู่ในแนวตั้งตรง แต่หากใช้ค่าอัตราขยายที่ต่ำ ระบบจะไม่มีแรงบิด เพียงพอในการดึงรถกลับเมื่อเกิดการเอียงตัวมาก ผู้วิจัยจึงออกแบบตัวควบคุมใหม่ให้ทำงานแบบ 2 ย่านการทำงาน (Dual-Region) โดยใช้เงื่อนไขของมุมเอียงตัวถัง (Roll Angle) ที่ ± 5 องศา เป็นตัว กำหนดการสลับค่าอัตราขยาย ดังแสดงในซอร์สโค้ด (Source Code) ดังรูปต่อไปนี้ รูปที่ 4.12 ซอร์สโค้ด (Source Code) กำหนดการสลับค่าอัตราขยาย 93 จากการออกแบบนี้ เมื่อรถเอียงเกิน ± 5 องศา ระบบจะตอบสนองอย่างก้าวร้าว (Aggressive) เพื่อดึงรถกลับ และเมื่อรถตั้งตรงแล้ว ระบบจะสลับไปใช้อัตราขยายที่ต่ำลงเพื่อประคองตัวรถให้อยู่ใน แนวดิ่งอย่างนุ่มนวล (Smooth) 4.5.2 การชดเชยความเสียดทานและช่วงอับสัญญาณ (Friction Compensation) มอเตอร์กระแสตรงและชุดเฟืองทดกำลังของกิม บอล มีความเสียดทานสถิตที่ต้องเอาชนะ ผู้วิจัยพบว่าค่าสัญญาณ PWM ต่ำสุดที่ทำให้มอเตอร์เริ่มขยับได้อยู่ที่ค่า 110 (จากความละเอียดสูงสุด 255) เพื่อแก้ปัญหาช่วงอับสัญญาณ (Deadzone) ผู้วิจัยได้สร้างพารามิเตอร์ชดเชยที่เรียกว่า 𝑢𝑡𝑟𝑖𝑚 ขึ้นมาในแบบจำลอง Simulink ดังรูปที่ 4.13 รูปที่ 4.13 บล็อกไดอะแกรมแสดงการชดเชยแรงดันไฟฟ้า ก่อนเข้าสู่การจำกัดสัญญาณ โดยค่า 𝑢𝑡𝑟𝑖𝑚 คำนวณจากการแปลงสัดส่วน PWM ให้เป็นแรงดันไฟฟ้าสูงสุดของระบบ (12 โวลต์) ตามสมการที่ 4.38 𝑢𝑡𝑟𝑖𝑚 = 110 × 12 ≈ 5.17 𝑉𝑜𝑙𝑡 255 (4.38) แรงดันชดเชยนี้จะถูกนำไปบวกเพิ่ม (Feedforward) เข้ากับค่าแรงดันสั่งการ 𝑉𝑖𝑛 ที่คำนวณได้จากตัว ควบคุมเสมอ ทำให้มอเตอร์ได้รับแรงดันเริ่มต้นที่เพียงพอต่อการเริ่มหมุนในทันที (กระโดดข้าม Deadzone) ส่งผลให้การรักษาสมดุลเป็นไปอย่างไร้รอยต่อ 94 4.5.3 ผลการจำลองการทำงานด้วยตัวควบคุมที่ปรับปรุงแล้ว (Updated Simulation Results) เพื่อยืนยันว่าโค้ดควบคุมที่ปรับปรุงด้วยเทคนิค Gain Scheduling และ 𝑢𝑡𝑟𝑖𝑚 สามารถทำงาน ได้จริง ผู้วิจัยได้ทำการทดสอบในแบบจำลอง (Simulation) อีกครั้ง โดยกำหนดมุมเอียงเริ่มต้นที่ สภาวะวิกฤต -15 องศา ซึ่งได้ผลการตอบสนองดังรูปที่ 4.14 รูปที่ 4.14 กราฟแสดงผลการตอบสนองของระบบจากการจำลองด้วยตัวควบคุมที่ปรับปรุงแล้ว 95 จากการวิเคราะห์ผลการจำลองที่ปรับปรุงแล้ว พบว่า 1. เวลาเข้าสู่สภาวะคงตัว (Settling Time) ระบบสามารถดึงตัวถังจากมุมเอียง -15 องศา กลับสู่ตำแหน่งสมดุลแนวตั้งฉาก (0 องศา) ได้ภายในเวลาประมาณ 1.5 วินาที ซึ่งถือว่ามีการตอบสนองที่รวดเร็วและนุ่มนวล เพียงพอต่อการใช้งานจริง 2. การพุ่งเกิน (Overshoot) ระบบแทบไม่มีการพุ่งเกิน (No Overshoot) ของมุมเอียงเลยเมื่อลู่เข้าสู่จุดสมดุล แสดง ให้เห็นถึงเสถียรภาพและอัตราการหน่วง (Damping) ที่ยอดเยี่ยมของค่า K ที่เลือกใช้ ทำให้รถ ไม่เกิดอาการแกว่งไปมาอย่างรุนแรง 3. ขอบเขตการทำงานของกิมบอล (Gimbal Range) จากการจำลองพบว่า ในขณะที่ระบบตอบสนองต่อมุมเอียงเริ่มต้น -15 องศา กิมบอลมี การหมุนบิดเพื่อสร้างแรงบิดกู้คืนไปที่มุมสูงสุด เพียงประมาณ 7 องศาเท่านั้น (และลู่เข้าสู่ สภาวะคงตัวที่ประมาณ 2 องศา) ซึ่งใช้มุมน้อยกว่าที่ประเมินไว้ในตอนแรก และยังอยู่ภายใต้ ขอบเขตจำกัดทางกล (Mechanical Limit) ที่ออกแบบไว้อย่างปลอดภัย ทำให้มั่นใจได้ว่า ระบบสามารถทำงานได้จริงโดยไม่เกิดการชนของโครงสร้าง 96 4.6 ผลการทดลองการควบคุมการทรงตัวจริง (Real-world Experimental Results) ในหัวข้อนี้ ผู้วิจัยได้ดำเนินการทดสอบประสิทธิภาพการทรงตัวของรถจักรยานต้นแบบจริง (Hardware) โดยใช้ตัวควบคุมแบบ LQR ที่ได้ออกแบบไว้ การทดสอบกระทำโดยการปล่อยตัวรถจาก มุมเอียงเริ่มต้น (Initial Condition) ที่สภาวะไม่สมดุล เพื่อสังเกตพฤติกรรมการตอบสนองของระบบ ซึ่งผลการทดลองสามารถแสดงได้ดังรูปที่ 4.15 รูปที่ 4.15 กราฟแสดงผลตอบสนองการทรงตัวของเครื่องต้นแบบจริง (Hardware) 97 4.6.1 การตอบสนองของมุมเอียงตัวถัง (Roll Angle and Roll Rate Response) จากกราฟการตอบสนองของมุมเอียงตัวถัง (Roll [degree]) เมื่อกำหนดมุมเอียงเริ่มต้นของตัว รถให้อยู่ที่ประมาณ -15 องศา ซึ่งเป็นสภาวะวิกฤต พบว่าระบบควบคุมสามารถตอบสนองและสั่งการ ให้ชุดกลไกดึงรถกลับเข้าสู่จุดสมดุล (0 องศา) ได้สำเร็จภายในเวลาประมาณ 2 วินาที (Settling Time) โดยแทบไม่เกิดการพุ่งเกิน (Overshoot) ที่รุนแรง หลังจากผ่านช่วง 2 วินาทีแรก ระบบเข้าสู่สภาวะคงตัว (Steady-state) และสามารถรักษา สมดุลแนวดิ่งไว้ได้อย่างต่อเนื่อง ค่าความคลาดเคลื่อนของมุมเอียงมีการแกว่งตัวอยู่ในช่วงที่แคบมาก คือไม่เกิน ±2 องศา ซึ่งผ่านเกณฑ์ข้อกำหนดของโครงงานที่ตั้งไว้ว่าต้องมีความคลาดเคลื่อนไม่เกิน ±5 องศา 4.6.2 การทำงานของชุดขับเคลื่อนและแรงดันไฟฟ้า (Gimbal Actuator and Input Response) เมื่อพิจารณาการตอบสนองของมุมกิมบอล (Gimbal [degree]) พบว่ากลไกมีการบิดทำมุม ตอบสนองทันทีไปที่ประมาณ -18 องศาในช่วงเริ่มต้น เพื่อสร้างแรงบิดกู้คืน (Restoring Torque) สำหรับต้านทานการล้ม และหลังจากตัวรถตั้งตรง กิมบอลจะแกว่งตัวเพียงเล็กน้อยในกรอบ ±5 องศา เพื่อรักษาสมดุล ในส่วนของสัญญาณควบคุม (Input [volt]) พบว่าการจ่ายแรงดันไฟฟ้าให้แก่มอเตอร์กิมบอลมี ลักษณะการสลับขั้วอย่างรวดเร็ว (High-frequency Switching) โดยมีการจ่ายแรงดันสูงสุดเต็มพิกัด ในช่วงวินาทีแรก และแกว่งตัวอยู่ที่ประมาณ ±5 ถึง ±6 โวลต์ในสภาวะคงตัว ซึ่งพฤติกรรมนี้ยังคงอยู่ ในพิกัดความปลอดภัยของมอเตอร์และแบตเตอรี่ 4.7 การตรวจสอบและวิเคราะห์ความสอดคล้อง (Verification & Validation Analysis) เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Model) และ ประสิทธิภาพของตัวควบคุม LQR ผู้วิจัยได้นำผลการตอบสนองจากเครื่องต้นแบบจริง (Hardware) มาเปรียบเทียบกับผลลัพธ์จากการจำลองสถานการณ์ (Simulation) ภายใต้สภาวะเริ่มต้น (Initial Condition) ที่มุมเอีย งวิกฤต -15 องศา และใช้พารามิเตอร์ตัวควบคุมชุดเดียวกัน ดังแสดงการ เปรียบเทียบในรูปที่ 4.16 98 รูปที่ 4.16 กราฟเปรียบเทียบการตอบสนองระหว่างเครื่องต้นแบบจริงและแบบจำลอง 99 4.7.1 การเปรียบเทียบพฤติกรรมการตอบสนองเชิงเวลา (Time Response Comparison) จากกราฟเปรียบเทียบการตอบสนอง สามารถวิเคราะห์ความสอดคล้องได้ดังนี้ - การลู่เข้าสู่จุดสมดุลของมุมเอียง (Roll Angle Convergence) : แนวโน้มการทำงาน ของระบบทั้งสองมีความสอดคล้องกันเป็นอย่างดี โดยแบบจำลอง (เส้นประสีน้ำเงิน) สามารถดึงรถกลับมาตั้งตรงที่ 0 องศาได้อย่างนุ่มนวลในเวลาประมาณ 1.5 วินาที ในขณะ ที่ระบบจริง (เส้นทึบสีส้ม) ใช้เวลาประมาณ 2.0 วินาทีและมีการพุ่งเกิน (Overshoot) เล็กน้อย ความล่าช้าที่เพิ่มขึ้นในระบบจริงเกิดจากการตอบสนองของวงจรขับมอเตอร์และ ความเฉื่อยของกลไก อย่างไรก็ตาม พฤติกรรมการลู่เข้าสู่จุดสมดุลที่เกาะกลุ่มกันนี้ เป็น การยืนยันความถูกต้องของสมการพลศาสตร์ที่ผู้วิจัยได้สร้างขึ้น - การทำงานของกลไกกิมบอล (Gimbal Actuation) : ในช่ว งเริ่มต้นของการทรงตัว (Transient) แบบจำลองมีการบิดมุมกิมบอลสูงสุดเพียงประมาณ -7 องศา แต่ในระบบจริง มอเตอร์กิมบอลต้องบิดทำมุมสูงสุดถึงประมาณ -18 องศา ความแตกต่างนี้อธิบายได้ด้วย หลักการทางฟิสิกส์ กล่าวคือ ในระบบจริงมีแรงเสียดทานสถิต (Static Friction) และ น้ำหนักของชุดกลไก ตัวควบคุมจึงต้องสั่งการให้กิมบอลขยับด้วยมุมที่กว้างขึ้นเพื่อสร้าง แรงบิดกู้คืน (Restoring Torque) ให้เอาชนะแรงต้านทานดังกล่าวในช่วงเริ่มต้น 4.6.2 การวิเคราะห์ความคลาดเคลื่อนและพฤติกรรมสภาวะคงตัว (Steady-State Error and Unmodeled Dynamics) เมื่อระบบเข้าสู่ส ภาวะคงตัว (Steady-State) จะพบพฤติกรรมที่แตกต่างกันอย่างชัดเจน กล่าวคือ ในแบบจำลอง มุมเอียงจะลู่เข้าสู่ 0 องศา และมุมกิมบอลจะหยุดนิ่งที่ระดับประมาณ 2 องศาอย่างราบเรียบ แต่ในระบบจริงจะพบการแกว่งตัว (Oscillation) ของทั้งมุมเอียงและมุมกิมบอล ขึ้นตลอดเวลา ความแตกต่างนี้เกิดจากปัจจัยทางกายภาพที่ไม่ได้ถูกรวมไว้ในแบบจำลองอุดมคติ (Unmodeled Dynamics) ซึ่งประกอบด้วย - ความไม่เป็นเชิงเส้นทางกล (Mechanical Nonlinearities) : กลไกของชุดขับเคลื่อนจริง มีช่องว่างระหว่างฟันเฟือง (Gear Backlash) และความเสียดทาน (Friction) ในตลับลูกปืน ทำให้การถ่ายทอดกำลังเกิดการหน่วงเวลา (Delay) และสูญเสียพลังงานบางส่วน ระบบ ควบคุมจึงต้องพยายามปรับแก้ค่าความคลาดเคลื่อนเชิงมุมนี้อยู่ตลอดเวลา 100 - พฤติกรรมของสัญญาณควบคุม (Control Input Chattering) : จากกราฟ Input [volt] จะเห็นได้ว่าทั้งแบบจำลองและระบบจริงมีการสลับขั้วแรงดันไฟฟ้าอย่างรวดเร็ว (Highfrequency Switching) อยู่ที่ระดับประมาณ 5 โวลต์ อย่างไรก็ตาม ในระบบจริง สัญญาณ รบกวนจากการสั่น สะเทือนของเฟรมรถ (Sensor Noise) ส่งผลให้การสลับขั้ว แรงดันมี รูปแบบที่แกว่งตัวและไม่สม่ำเสมอเท่าแบบจำลอง เนื่องจากตัวควบคุมต้องทำงานหนักขึ้น เพื่อชดเชยค่าความคลาดเคลื่อนที่เกิดจาก Noise เหล่านั้นตลอดเวลา แม้ว่าเครื่องต้นแบบจริงจะต้องเผชิญกับปัจจัยรบกวน (Disturbances) และความไม่สมบูรณ์ แบบทางกลที่ไม่ได้คาดการณ์ไว้ในแบบจำลอง แต่ผลการทดลองยืนยันว่าตัวควบคุม LQR มี ความ ทนทาน (Robustness) สูงมาก สามารถรักษาสมดุล ของรถจักรยานให้อยู่ในแนวดิ่งได้อย่างมี เสถียรภาพ และควบคุมความคลาดเคลื่อนให้อยู่ในกรอบข้อกำหนดได้สำเร็จ 101 บทที่ 5 สรุปผลการดำเนินงานและข้อเสนอแนะ (Conclusion and Recommendations) โครงงานวิศวกรรมนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษา ออกแบบ และสร้างเครื่องต้นแบบรถจักรยาน สองล้อที่สามารถทรงตัวได้ด้วยตัวเองในขณะหยุดนิ่ง (Self-Balancing Bicycle at Standstill) โดย อาศัย หลักการแลกเปลี่ย นโมเมนตัมเชิงมุมของชุดกลไก Control Moment Gyroscope (CMG) ร่วมกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการควบคุมสมัยใหม่ จากการดำเนินงาน การทดสอบ และการวิเคราะห์ ผล สามารถสรุปผลการดำเนินงาน ปัญหาที่พบ และข้อเสนอแนะได้ดังรายละเอียดต่อไปนี้ 5.1 สรุปผลการดำเนินงาน จากการทดสอบและวิเคราะห์ผลการทำงานของระบบ พบว่าโครงงานนี้ประสบความสำเร็จ และบรรลุเป้าหมายตามที่ตั้งไว้อย่างครบถ้วน โดยสามารถสรุปแยกตามประเด็นได้ดังนี้ 5.1.1 สรุปผลตามวัตถุประสงค์ของโครงงาน (Objectives) 1. การออกแบบและพัฒนาตัวควบคุม : ผู้วิจัยประสบความสำเร็จในการออกแบบตัวควบคุม แบบ LQR (Linear Quadratic Regulator) ที่มีประสิทธิภาพสูง สามารถสร้างแรงบิดกู้คืนและดึงตัว รถกลับสู่จุดสมดุลได้อย่างรวดเร็วภายใน 2 วินาที 2. การศึกษาการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ : มีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ในรูปแบบสมการสเตทสเปซ (State-Space) และมีการพิสูจน์ความแม่นยำของพารามิเตอร์ ทาง กายภาพ (เช่น จุดศูนย์ถ่วงและโมเมนต์ความเฉื่อย) ด้วยวิธี Trifilar Pendulum ทำให้ได้แบบจำลอง ที่สะท้อนพฤติกรรมจริงได้อย่างถูกต้อง 3. การสร้างต้นแบบตัวควบคุมการทรงตัว : โครงงานนี้สามารถสร้างเครื่องต้นแบบจักรยาน สองล้อที่ใช้งานได้จริง ซึ่งสามารถนำองค์ความรู้นี้ไปประยุกต์ใช้กับยานพาหนะขนาดเล็ก หรืออุปกรณ์ ช่วยรักษาสมดุลในอนาคตได้ 4. การศึกษาการทำงานของตัวกระตุ้นชนิดแลกเปลี่ยนโมเมนตัม : มีการนำชุดกลไก CMG (Control Moment Gyroscope) มาใช้เป็นตัวกระตุ้น (Actuator) หลัก ซึ่งผลการทดลองยืนยันว่า กลไกนี้สามารถสร้างแรงบิดต้านทานการล้มได้อย่างมีประสิทธิภาพ 102 5.1.2 สรุปผลตามความต้องการของโครงงาน (Requirements) 1. ใช้ตัวควบคุ ม ชนิ ด LQR : ระบบใช้ทฤษฎี LQR ในการคำนวณอั ตราขยาย (Gain) ซึ่ ง สามารถปรับเปลี่ยนพารามิเตอร์เพื่อหาการตอบสนองที่เหมาะสมที่สุดได้ 2. ความคลาดเคลื่อนเชิงมุมไม่เกิน ±5 องศา : จากผลการทดสอบจริง (Hardware Test) ระบบสามารถรักษาสมดุลในแนวดิ่ง (สภาวะคงตัว) โดยมีความคลาดเคลื่อนของมุมเอียงเพียง ±2 องศา ซึ่งผ่านเกณฑ์ที่กำหนดไว้อย่างดีเยี่ยม 3. การติดตั้งอุปกรณ์ในโครงสร้าง : สามารถจัดวางไมโครคอนโทรลเลอร์ (Teensy 4.0), วงจรขับมอเตอร์ และแบตเตอรี่ ลงในกล่องอุปกรณ์และติดตั้งบนโครงสร้างอะลูมิเนียมได้อย่างเป็น ระเบียบและมั่นคง 4. การควบคุมโดยไม่อาศัยแรงสัมผัสจากพื้น : กลไก CMG ที่ติดตั้งอยู่ภายในตัวรถสามารถ สร้างแรงบิดเพื่อรักษาสมดุลได้ด้วยตัวเอง โดยไม่ต้องอาศัยขาตั้งหรือแรงเสียดทานจากพื้นถนน 5. รองรับการจำลองและการควบคุมจริง : โครงงานนี้มีการเปรียบเทียบผลลัพธ์ระหว่าง แบบจำลอง (Simulation) และเครื่องต้นแบบจริง (Real-world Test) ซึ่งให้ผ ลการตอบสนองที่ สอดคล้องกัน 6. ใช้เซนเซอร์ IMU ตรวจจับมุมเอียง: ใช้เซนเซอร์ MPU6050 (6-Axis IMU) ติดตั้งบริเวณ กึ่งกลางรถเพื่อตรวจจับพฤติกรรมการเอียงและป้อนกลับเข้าสู่ระบบควบคุมได้อย่างแม่นยำ 5.1.3 สรุปผลตามข้อจำกัดของการออกแบบ (Constraints) 1. ชนิดมอเตอร์ขับเคลื่อน : เลือกใช้มอเตอร์กระแสตรง (DC Motor RS-385PH) ร่วมกับชุด เกียร์ทดกำลังในการขับเคลื่อนแกนกิมบอล ซึ่งสามารถตอบสนองต่อสัญญาณควบคุมได้เป็นอย่างดี 2. แรงดันไฟฟ้าไม่เกิน 12 โวลต์ : ระบบใช้แหล่งจ่ายไฟจากแบตเตอรี่ Li-Po 3S (11.1 โวลต์) และจากกราฟผลการทดสอบ พบว่าแรงดันไฟฟ้าสูงสุดที่จ่ายให้มอเตอร์ (Control Input) อยู่ที่ 10 โวลต์ ซึ่งไม่เกินขีดจำกัดที่กำหนด 3. การติดตั้งไม่รบกวนจุดศูนย์ถ่วง : อุปกรณ์ควบคุมถูกจัดวางไว้ในกล่อง 3D Print บริเวณ ด้านบนกึ่งกลางตัวรถ เพื่อรักษาสมดุลซ้าย-ขวา ในขณะที่เซนเซอร์ IMU ถูกยึดอย่างแน่นหนาใกล้กับ แกนอ้างอิง ทำให้ไม่รบกวนการวัดค่าและการทรงตัว 4. ขนาดและน้ำหนักรวม : เครื่องต้นแบบที่สร้างเสร็จสมบูรณ์มีขนาด กว้าง x ยาว x สูง อยู่ที่ 15 x 45 x 18 เซนติเมตร (อยู่ในข้อจำกัด 20 x 45 x 25 ซม.) และมีน้ำหนักรวมต่ำกว่า 10 กิโลกรัม ตามที่ได้ออกแบบไว้ 103 5.2 ปัญหาและอุปสรรคในการดำเนินงาน จากการทดสอบการทำงานของเครื่องต้นแบบจริง ผู้วิจัยพบปัญหาและข้อจำกัดทางกายภาพ หลายประการ ซึ่งส่งผลกระทบต่อเสถียรภาพในการควบคุมการทรงตัว ดังนี้ 1. ผลกระทบทางเรขาคณิตของระบบบังคับเลี้ยว เมื่อทำการทดสอบให้ตัวรถเลี้ยวไปทางซ้ายหรือขวา พบว่าระบบสูญเสียเสถียรภาพและล้มลง ปรากฏการณ์นี้เกิดจากแกนคอรถ (Steering Axis) ของเครื่องต้นแบบมีมุมเอียง (Rake Angle) เมื่อมี การหักเลี้ยว จะทำให้เกิดพฤติกรรม 2 ประการ ได้แก่ - โครงรถถูกกลไกบังคับให้เอียงตัวและลดระดับลง (Kinematic Roll) - จุดสัมผัสระหว่างหน้ายางกับพื้น (Contact Patch) ย้ายออกจากแนวกึ่งกลางของล้อ ปัจจัยเหล่านี้สร้างโมเมนต์งัด (Overturning Moment) ที่อยู่นอกเหนือจากสมการพลศาสตร์ การเอียง (Roll Dynamics) ที่ออกแบบไว้ในตัวควบคุม LQR ระบบจึงมองว่าเป็นแรงรบกวน (Disturbance) ขนาดใหญ่และไม่สามารถชดเชยแรงบิดได้ทัน 2. ความไม่เป็นเชิงเส้นของระบบส่งกำลัง ชุดขับเคลื่อนแกนกิมบอลที่ใช้มอเตอร์กระแสตรงร่วมกับเฟืองทดกำลัง มีระยะรุนหรือช่องว่าง ระหว่างฟันเฟือง (Gear Backlash) และมีความเสียดทาน (Friction) ส่งผลให้เกิดความล่าช้า (Delay) ในการส่งถ่ายกำลัง ทำให้ระบบเกิดการแกว่งตัว (Oscillation) เล็กน้อยรอบจุดสมดุลในสภาวะคงตัว 3. สัญญาณรบกวนจากการสั่นสะเทือน การหมุนของล้อช่วยแรง (Flywheel) ด้วยความเร็วสูง ก่อให้เกิดการสั่นสะเทือนทางกลสะสม มายังโครงสร้างหลัก ซึ่งส่งผลกระทบต่อความแม่นยำในการตรวจจับของเซนเซอร์ IMU (MPU6050) ทำให้ตัวควบคุมต้องจ่ายแรงดันไฟฟ้าแบบสลับขั้วอย่างรวดเร็ว (Chattering Effect) เพื่อพยายาม ชดเชยความคลาดเคลื่อนจากสัญญาณรบกวนดังกล่าว 104 5.3 ข้อเสนอแนะและแนวทางในการพัฒนาต่อยอด เพื่อแก้ปัญหาที่พบในการดำเนินงาน และเพิ่มประสิทธิภาพของระบบสำหรับการพัฒนาเป็น หุ่นยนต์จักรยานทรงตัวหรือยานพาหนะอัตโนมัติในอนาคต ผู้วิจัยมีข้อเสนอแนะดังนี้: 1. การปรับปรุงเรขาคณิตของระบบบังคับเลี้ยว (Steering Geometry Redesign) เพื่อให้ตัวรถสามารถทรงตัวได้ในขณะเลี้ยว ควรพิจารณาออกแบบแกนคอโช้คหน้าใหม่ให้ตั้ง ฉากกับพื้น (มุม Rake Angle และระยะ Trail มีค่าเป็นศูนย์) การปรับเช่นนี้จะช่วยให้จุดสัมผัสพื้นอยู่ ที่แนวกึ่งกลางยางเสมอขณะเลี้ยว ซึ่งจะแยกพลศาสตร์การเลี้ยว (Yaw) และการเอียง (Roll) ออกจาก กันอย่างเด็ดขาด (Decoupled Dynamics) ทำให้ตัวควบคุม LQR เดิมสามารถรักษาสมดุลขณะเลี้ยว ได้ 2. การพัฒนาระบบควบคุมแบบหลายตัวแปร (MIMO Control System) หากยังคงรักษาโครงสร้างรถที่มีมุมเอียงของโช้คหน้าไว้ ควรมีการพัฒนาแบบจำลองทาง คณิตศาสตร์แบบใหม่ที่นำมุมเลี้ยว (Steering Angle) เข้ามาผูกรวมในสมการขับเคลื่อนกิมบอลด้วย และพิจารณาออกแบบตัวควบคุมแบบพหุตัวแปร (Multi-Input Multi-Output: MIMO) เพื่อให้ระบบ สามารถชดเชยโมเมนต์งัดจากการหักเลี้ยวได้ล่วงหน้า 3. การลดระยะรุนทางกล (Backlash Reduction) ควรพิจารณาออกแบบชุดขับเคลื่อนกิมบอลใหม่ โดยเปลี่ยนไปใช้มอเตอร์ขับตรง (Direct Drive Motor) ที่มีแรงบิดสูง หรือใช้ชุดเกียร์ทดกำลังแบบไร้ช่องว่าง (Harmonic Drive) เพื่อขจัด ปัญหาความล่าช้าในการส่งกำลัง ซึ่งจะช่วยให้ระบบสามารถรักษาสมดุลได้อย่างราบเรียบยิ่งขึ้น 4. การประยุกต์ใช้ตัวกรองสัญญาณขั้นสูง (Advanced Signal Estimator) ควรพิจารณาใช้อัลกอริทึมตัวประมาณค่าสถานะขั้นสูง เช่น คาลมานฟิลเตอร์ (Kalman Filter) ร่วมกับการใช้วัสดุดูดซับการสั่นสะเทือน (Vibration Dampener) บริเวณจุดยึดเซนเซอร์ เพื่อลด ผลกระทบจาก Noise ของ Flywheel ก่อนส่งสัญญาณเข้าสู่ตัวควบคุม 105 เอกสารอ้างอิง [1] J. Li, R. Zhai, Y. Yao, and H. Zhang, “Comparative analysis and control strategy for two-wheeled self-balancing robot: Reaction wheel pendulum vs. inverted pendulum,” PLOS ONE, Vol. 18, No. 5, 2023, pp. 1–26. [2] S. S. Ge and Z. Li, “Dynamic modeling and control of a self-balancing bicycle with internal moving masses,” Vehicle System Dynamics, Vol. 61, No. 3, 2023, pp. 379– 403. [3] H. D. Young and R. A. Freedman, University Physics with Modern Physics, 15th ed., Pearson, Boston, 2019. [4] ส. กุลธนปรีดา, วิศวกรรมการควบคุมอัตโนมัติ (ฉบับปรับปรุงครั้งที่ 1). กรุงเทพฯ: ศูนย์ผลิตตำรา เรียน มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนือ, 2566. [5] ภาควิชาวิศวกรรมการบินและอวกาศ, Mathematical Modeling and Laplace Transform [Online], Available: http://eng.sut.ac.th/ae/ae2016/src/file/SubjectDocument/file/A FP2_MathModel_1479310418.pdf [August 2, 2025]. [6] สมชาย เชื้อบุญมี, การควบคุมเชิงเหมาะสมสำหรับระบบควบคุมเชิงเส้นโดยใช้การควบคุมแบบ ลิเนียร์ควอดราติก (LQ), วิทยานิพนธ์วิศวกรรมศาสตร์มหาบัณฑิต สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะ วิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยนเรศวร, 2551, หน้า 1–110. [7] Massachusetts Institute of Technology, Pole-Zero Analysis [Online], Available: https://web.mit.edu/2.14/www/Handouts/PoleZero.pdf [August 2, 2025]. [8] GeeksforGeeks, Control Systems – Stability [Online], Available: https://www.geeksforgeeks.org/electrical-engineering/control-systems-stability/ [August 2, 2025]. [9] Z. Iqbal, System Stability, in Introduction to Control Systems [Electronic], LibreTexts Engineering, Available:https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Industrial _and_Systems_Engineering/Introduction_to_Control_Systems_(Iqbal)/02%3A_Transfer _Function_Models/2.03%3A_System_Stability [August 2, 2025]. 106 [10] A. V. Oppenheim, Stability and Eigenvalues, MIT OpenCourseWare: 6.011 – Introduction to Communication, Control, and Signal Processing [Online], Spring 2010, Available: https://ocw.mit.edu/courses/6-011-introduction-to-communication-controland-signal-processing-spring-2010/59a39b083dc3501a8e757bd16e46d6bc_MIT6_011S1 0_chap05.pdf [August 2, 2025]. [11] S. Phaengsook and T. Naenna, Balancing Control of Two-Wheel Bicycle Problems [Electronic], 2020, Available: https://www.researchgate.net/publication/343143163_ Balancing_Control_of_Two-Wheel_Bicycle_Problems [August 2, 2025]. [12] M. H. Ahmad, N. M. Nor, N. A. M. Amin, et al., Optimal fuzzy control of a twowheel mobile robot equipped with a control moment gyroscope (CMG) stabilizer: Simulation and experiment [Electronic], 2023, Available: https://www.researchgate.net/publication/373855602 [August 2, 2025]. [13] Kev’s Robots, how it Works: PID Controllers [Online], Available: https://www.kevsrobots.com/resources/how_it_works/pid-controllers.html [August 2, 2025]. [14] Electrical Academia, An Introduction to the Root Locus Technique with Example – Root Locus Rules [Online], Available: https://electricalacademia.com/controlsystems/an-introduction-to-the-root-locus-technique-with-example-root-locus-rules/ [August 2, 2025]. [15] Eland Cables, UL1007 Cable and Wire [Online], Available: https://www.elandcables.com/electrical-cable-and-accessories/cables-bystandard/ul1007-cable-and-wire [August 2, 2025]. [16] IDEC Corporation, IEC 60204 – Safety of Machinery: Electrical Equipment of Machines [Online], Available: https://us.idec.com/RD/safety/law/iso-iec/iec60204 [August 2, 2025]. [17] Wikipedia, IEC 61508 [Online], Available: https://en.wikipedia.org/wiki/IEC_61508 [August 2, 2025]. 107 ภาคผนวก ก โปรแกรมสำหรับการสร้างแนวคิดตัวกระตุ้นของ Reaction Wheel สำหรับภาคผนวก ก นี้ รวบรวมคำสั่งของโปรแกรมที่ใช้ในการควบคุมในการสร้างแนวคิด ตัวกระตุ้นของ Reaction Wheel ผ่านโปรแกรม MATLAB และ Simulink [1] คำสั่งที่ใช้ในโปรแกรม MATLAB 108 109 [2] แผนภาพ Block ของ Linear System ใน Simulink 110 [3] แผนภาพ Block ของ Simscape Model ใน Simulink 111 [4] แผนภาพ Block ของ Nonlinear System ใน Simulink ภาคผนวก ข โปรแกรมสำหรับการสร้างแนวคิดตัวกระตุ้นของ Control Moment Gyroscope 112 สำหรับภาคผนวก ข นี้ รวบรวมคำสั่งของโปรแกรมที่ใช้ในการควบคุมในการสร้างแนวคิด ตัวกระตุ้นของ Control Moment Gyroscope ผ่านโปรแกรม MATLAB และ Simulink [1] คำสั่งที่ใช้ในโปรแกรม MATLAB 113 114 [2] แผนภาพ Block ของ Linear System ใน Simulink 115 [3] แผนภาพ Block ของ Simscape Model ใน Simulink 116 [4] แผนภาพ Block ของ Nonlinear System ใน Simulink 117 ภาคผนวก ค โปรแกรมสำหรับการควบคุมระบบทรงตัวอัตโนมัติ สำหรับภาคผนวก ค นี้ รวบรวมคำสั่งของโปรแกรมที่ใช้ในการควบคุม ระบบทรงตัวอัตโนมัติ โดยใช้ตัวกระตุ้นชนิดแลกเปลี่ย นโมเมนตัม ( Simscape Model ) ผ่านโปรแกรม MATLAB และ Simulink [1] คำสั่งที่ใช้ในโปรแกรม MATLAB 118 119 [2] แผนภาพ Block ของ Simscape Model ใน Simulink 120 ภาคผนวก ง แบบแปลนชิ้นส่วนทางกลของเครื่องต้นแบบ (Mechanical Drawings) สำหรับภาคผนวก ค นี้ เป็นการรวบรวมแบบแปลนสั่งผลิตชิ้นส่วนทางกล (Shop Floor Drawings) ที่ผู้วิจัยได้ทำการออกแบบผ่านโปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยในการออกแบบ (CAD) เพื่อใช้ เป็น แบบอ้างอิงในการตัดขึ้น รูป ชิ้นส่ว นอะลูมิเนียมและประกอบโครงสร้างของเครื่ องต้ น แบบ รถจักรยานสองล้อทรงตัวอัตโนมัติ โดยมีการเรียงลำดับจากภาพประกอบรวมของโครงสร้าง ไปจนถึง แบบแปลนของชิ้นส่วนย่อยแต่ละชิ้น ดังรายละเอียดต่อไปนี้คำสั่งที่ใช้ในโปรแกรม MATLAB [1] แบบแปลนภาพรวมโครงสร้างชุดประกอบทั้งคัน (Overall Assembly) 121 [2] แบบแปลนภาพรวมชุดประกอบกิมบอล (Gimbal Assembly) 122 [3] แบบแปลนภาพรวมชุดประกอบล้อหน้า (Front Wheel) 123 [4] แบบแปลนภาพรวมชุดประกอบล้อหลัง (Rear Wheel) 124 [5] แบบแปลนชิ้นส่วน Flywheel Recal 125 [6] แบบแปลนชิ้นส่วน Top Case Gyro 126 [7] แบบแปลนชิ้นส่วน Colum Case Gyro 127 [8] แบบแปลนชิ้นส่วน Bottom Case Gyro 128 [9] แบบแปลนชิ้นส่วนฐานรองล้อช่วยแรง (Flywheel Base) 129 [10] แบบแปลนชิ้นส่วน Rotate Gyro 130 [11] แบบแปลนชิ้นส่วน Flock Left 131 [12] แบบแปลนชิ้นส่วน Flock Right 132 [13] แบบแปลนชิ้นส่วน Fork Top 133 [14] แบบแปลนชิ้นส่วน Plate 134 [15] แบบแปลนชิ้นส่วนแผ่น Headset Mount Plate 135 [16] แบบแปลนชิ้นส่วน Headset 136 [17] แบบแปลนชิ้นส่วน Rear Wheel Left Frame 137 [18] แบบแปลนชิ้นส่วน Magnetic 138 [19] แบบแปลนชิ้นส่วนตัว Rear Wheel Mid Frame 139 [20] แบบแปลนชิ้นส่วน Pulley 140 [21] แบบแปลนชิ้นส่วน Shaft 6 mm L 55 mm 141 [22] แบบแปลนชิ้นส่วน Shaft 8 mm L 16 mm 142 [23] แบบแปลนชิ้นส่วน Shaft Rear Wheel 143 [24] แบบแปลนชิ้นส่วนตัว Rear Wheel Right Frame 144

Abstract

This thesis presents the design and development of a self-balancing twowheeled bicycle prototype capable of maintaining equilibrium at a standstill. The system utilizes the angular momentum exchange principle of a Control Moment Gyroscope (CMG) combined with linear control theory. The implementation began with establishing a dynamic mathematical model and validating the physical parameters using the trifilar pendulum method. Subsequently, the hardware prototype was constructed, and the controller was optimized for practical application. Performance testing revealed that the controller successfully commanded the mechanism to generate a restoring torque, recovering the vehicle from a critical roll angle of -15 degrees to vertical equilibrium within 2 seconds. The system maintained stability with a steady-state roll angle error within ±2 degrees, satisfying the project requirements. Furthermore, experimental results exhibited convergence behavior consistent with the simulations, verifying the mathematical model's accuracy and demonstrating the controller's robustness against external disturbances. The knowledge derived from this project can be applied to develop self-balancing assist systems for small personal vehicles or two-wheeled mobile robots.

อ้างอิงผลงานนี้ / Cite this

รหัสโปรเจค

DC-2568-006

ชื่อเรื่อง

การออกแบบและพัฒนาระบบควบคุมสำหรับอุปกรณ์ทรงตัวอัตโนมัติที่ใช้ตัวกระตุ้นชนิดแลกเปลี่ยนโมเมนตัม / Design and Development of a Controller for a Self-Balancing System Using a Momentum Exchange-Based Actuator

ผู้จัดทำ

พฤฒิพงษ์ นิธิกุลตานนท์, วรณัฏฐ์ ขวัญแก้ว, สุกฤษฎิ์ไชย หอมกระจาย

อาจารย์ที่ปรึกษา

ศ.ดร.สุวัฒน์ กุลธนปรีดา

ปีการศึกษา

2568 (C.E. 2025)

หน่วยงาน

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกลและการบิน-อวกาศ (MAE) มจพ.

URL

https://maeconnect.eng.kmutnb.ac.th/projects/cmoi2r4gm0099xtyrumhs16wj